Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

21
1.
...
7
1
5
1
3
1
1 >>>>
,
2.
1
n
2
1
limalim
n
n
n
−
=
∞→∞→
=0.
Следовательно, этот ряд сходится. Так как ряд из абсолютных величин
расходится, данный ряд сходится условно (неабсолютно).
Пример 6. Исследовать характер сходимости ряда
∑
∞
=
+
−
1
n
n
)1n(n
)1(
.
Решение
Исследуем ряд с положительными членами
∑
∞
=
+
1n
)1n(n
1
, составленный
из абсолютных величин членов данного ряда. Применим интегральный
признак
2ln
1
b
1x
x
lnlim
)x(
)x(d
lim
2
1
)1x(x
dx
b
b
1
4
1
2
2
1
2
1
b
1
=
+
=
−+
+
=
+
+∞→+∞→
∞
∫∫
.
Итак, ряд с положительными членами сходится, а данный ряд сходит-
ся абсолютно.
Пример 7. Исследовать ряд на сходимость
∑
∞
=
π
n
3
n
Sin
.
Решение
Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое ус-
ловие сходимости:
3
n
Sinlimalim
n
n
n
π
=
+∞→+∞→
- не существует.
Вследствие этого он расходится.
ЗАДАЧИ
В № 81-90 исследовать, какие из данных рядов сходятся абсолютно, какие
условно, какие расходятся:
№ 81.
∑
∞
=
−
1n
4
5
n
n
)1(
№ 82.
∑
∞
=
−
n
n
nn
)1(
№ 83.
∑
∞
=
−
1n
n
nln
)1(
№ 84.
∑
∞
=
−
−
1
n
1n
n2
)1(
№ 85.
∑
∞
=
−
1
n
3
1n
n
)1(
№ 86.
∑
∞
=
⋅−
−
1n
n
n
3)1n2(
)1(
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                 1. 1 > 1 > 1 > 1 > ... ,
                          3      5   7
                 2. lim a n = lim  1 =0.
                   n→∞     n → ∞ 2n − 1
             Следовательно, этот ряд сходится. Так как ряд из абсолютных величин
         расходится, данный ряд сходится условно (неабсолютно).
                                                             ∞
              Пример 6. Исследовать характер сходимости ряда ∑ (−1) .
                                                                   n

                                                                          n =1n ( n + 1)


                                              Решение
                                                                 ∞     1
              Исследуем ряд с положительными членами             ∑ n (n + 1) , составленный
                                                                n =1
         из абсолютных величин членов данного ряда. Применим интегральный
         признак
                   ∞                       b d( x + 1 )
                         dx       1                                       x b
                   ∫ x ( x + 1) = 2 b lim  ∫                =                   = ln 2 .
                                                       2
                                                                lim  ln
                   1                  → +∞ 1 ( x + 1 2 1
                                                     )  −     b → +∞    x + 1 1
                                                   2      4
              Итак, ряд с положительными членами сходится, а данный ряд сходит-
         ся абсолютно.
                                                       ∞   nπ
              Пример 7. Исследовать ряд на сходимость ∑ Sin .
                                                      n =1  3

                                           Решение
             Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое ус-
         ловие сходимости:
                                   nπ - не существует.
                 lim a n = lim Sin
               n → +∞     n → +∞    3
             Вследствие этого он расходится.

                                             ЗАДАЧИ
         В № 81-90 исследовать, какие из данных рядов сходятся абсолютно, какие
         условно, какие расходятся:
                      ∞   (−1) n                                     (−1) n −1
                                                                     ∞
              № 81.   ∑      4
                                                           № 84. ∑
                      n =1n5                                     n =1 2n
                     ∞ ( −1) n                                       ∞   (−1) n −1
              № 82. ∑                                      № 85.     ∑
                    n =1 n n                                       n =1     n3
                      ∞                                              ∞       (−1) n
              № 83. ∑ (−1)
                             n
                                                           № 86.     ∑
                                                                   n =1( 2 n − 1) ⋅ 3
                                                                                           n
                    n =1 ln n




                                                  21

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы