Бесконечные ряды. Картечина Н.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

19
2. числа а
n
(n=1,52,53,…) образуют монотонную последовательность,
стремящуюся к нулю.
Теорема. Признак Абеля.
Знакопеременный ряд
∑
∞
=1n
nn
ba
сходится, если:
1. сходится ряд
∑
∞
=1n
n
b
;
2. числа а
n
(n=1,52,53,…) образуют монотонную и ограниченную по-
следовательность.
Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
...
3
)1(
...
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
n
)1n(n
765432
+
−
++−−++−−+
−
.
Решение
Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
...
3
1
...
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
n765432
++++++++++
.
Последний ряд сходится, как геометрическая прогрессия со знамена-
телем q=
3
1
<1. Следовательно, данный ряд также сходится; он является аб-
солютно сходящимся рядом.
Пример 2. Доказать сходимость ряда
∑
∞
=1n
3
n
nSin
.
Решение
Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
...
n
Sinn
...
3
3Sin
2
2Sin
1
1Sin
n
n
3333
1
n
3
+++++=
∑
∞
=
Sin
Так как |Sin n|≤1, каждый член последнего ряда не превышает соответ-
ствующего члена сходящегося ряда Дирихле
∑
=
+++=
1
n
3333
...
3
1
2
1
1
1
n
1
(р=3>1).
По первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных ве-
личин сходится. Поэтому сходится и данный ряд, причем абсолютно.
Пример 3. Исследовать характер сходимости знакочередующегося ряда
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
            2. числа аn (n=1,52,53,…) образуют монотонную последовательность,
               стремящуюся к нулю.
              Теорема. Признак Абеля.
              Знакопеременный ряд
                                                ∞
                                               ∑ a nbn
                                               n =1
              сходится, если:
                              ∞
            1. сходится ряд ∑ b ;
                                      n
                               n =1
            2. числа аn (n=1,52,53,…) образуют монотонную и ограниченную по-
              следовательность.

              Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
                           1 1 1 1 1 1 1                    (−1) n ( n −1)
                        1 + − 2 − 3 + 4 + 5 − 6 − 7 + ... +                + ... .
                           3 3 3 3 3 3 3                       3n

                                           Решение
             Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
                            1 1      1 1     1    1    1      1
                         1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n + ... .
                            3 3     3 3      3 3      3      3
             Последний ряд сходится, как геометрическая прогрессия со знамена-
         телем q= 1 <1. Следовательно, данный ряд также сходится; он является аб-
                  3
         солютно сходящимся рядом.
                                                  ∞ Sinn
             Пример 2. Доказать сходимость ряда          ∑
                                                         .
                                                         n =1   n3

                                          Решение
             Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
              ∞ Sinn    Sin1 Sin 2 Sin 3        Sinn
             ∑ 3 = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + ...
             n =1 n      1        2    3         n
             Так как |Sin n|≤1, каждый член последнего ряда не превышает соответ-
         ствующего члена сходящегося ряда Дирихле
              ∞ 1     1 1       1
             ∑ 3 = 3 + 3 + 3 + ... (р=3>1).
             n =1n   1 2        3
             По первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных ве-
         личин сходится. Поэтому сходится и данный ряд, причем абсолютно.

         Пример 3. Исследовать характер сходимости знакочередующегося ряда



                                                    19

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы