Математика. Картечина Н.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

10
3
2
4
3
2
1
3
2
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
Таким образом, х
1
= 1, х
2
= 2, х
3
=3, х
4
= 2.
Задача 8. Привести квадратическую форму к каноническому виду
методом Лагранжа
f(x,x)= 2x
1
2
+10x
2
2
+ 9x
3
2
- 8x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
.
Решение. Выделим полный квадрат:
2x
1
2
+10x
2
2
+ 9x
3
2
- 8x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
=2(x
1
2
+4x
2
2
+ x
3
2
- 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
) +2x
2
2
+ 7x
3
2
=
=2(x
1
- 2x
2
+ x
3
)
2
+ 2x
2
2
+ 7x
3
2
. Выполним преобразование:
x
1
- 2x
2
+ x
3
= y
1
; x
2
= y
2
; x
3
= y
3
. Тогда получим
f(x,x)= 2y
1
2
+2y
2
2
+ 7y
3
2
.
Задача 9. Найти координаты вектора х в базисе (e′
1
, e′
2
, e′
3
), если он
задан в базисе (e
1
, e
2
, e
3
).
++−=
−=
−+=
.
,
9
8
,8
321
'
3
21
'
2
321
'
1
eeee
eee
eeee
х={1,-9,9}.
Решение. Записываем матрицу перехода
Т=
−
−
−
108
111
1
9
8
1
и находим обратную матрицу Т
-1
.
Определитель
Т=
108
111
1
9
8
1
−
−
−
= 1
9
8
8
9
64
1 −=−+−− .
Т
11
=
10
11−
= - 1, Т
12
= -
18
11
−
= -9, Т
13
=
08
11
−
−
= 8,
Т
21
= -
10
1
9
8
−
= -
9
8
, Т
22
=
18
11
−
−
= -7, Т
23
= -
08
9
8
1
−
=-
9
64
,
Т
31
=
11
1
9
8
−
−
=
9
1
− , Т
32
= -
11
11 −
= -2, Т
33
=
11
9
8
1
−
=
9
17
− .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                0   1   0   0    2    3
                                         
                0   0   1   0    3    4
                1                          Таким образом, х1 = 1, х2 = 2, х3 =3, х4 = 2.
                     0   0   0    1    2 
                
                0                     3 
                    0   0   1    2

               Задача 8. Привести квадратическую форму к каноническому виду
         методом Лагранжа
                               f(x,x)= 2x12 +10x22 + 9x32 - 8x1x2 + 4x1x3.
               Решение. Выделим полный квадрат:
                  2x12 +10x22 + 9x32 - 8x1x2 + 4x1x3=2(x12 +4x22 + x32 - 4x1x2 + 2x1x3) +2x22
         + 7x32 =
               =2(x1 - 2x2 + x3 )2 + 2x22 + 7x32. Выполним преобразование:
                      x1 - 2x2 + x3 = y1; x2 = y2; x3 = y3. Тогда получим
                    f(x,x)= 2y12 +2y22 + 7y32.

               Задача 9. Найти координаты вектора х в базисе (e′1, e′2, e′3), если он
         задан в базисе (e1, e2, e3).
                                       e1' = e1 + e2 − 8e3 ,
                                       ' 8
                                        e2 = e1 − e2 ,            х={1,-9,9}.
                                        '       9
                                       e3 = −e1 + e2 + e3 .

                Решение. Записываем матрицу перехода
                       8      
                    1     − 1
                       9      
                Т=  1 − 1 1  и находим обратную матрицу Т -1.
                   − 8 0   1 
                   
                              
                Определитель
                        8
                         1 −1
                        9           64    8
                Т= 1 − 1 1 = − 1 − + 8 − = −1 .
                                    9     9
                     −8 0  1

                       −1 1                          1 1                  1 −1
                Т11=        = - 1,          Т12= -        = -9,    Т13=        = 8,
                       0 1                           −8 1                 −8 0
                       8                           1 −1                        8
                             −1  8                                             1   64
                Т21= - 9       =- ,           Т22=      = -7,        Т23= -    9 =- ,
                       0     1   9                 −8 1                     −8 0   9

                     8                                1 −1                   8
                Т31= 9 − 1 = − ,
                              1                                            1      17
                                               Т32= -      = -2,      Т33=   9 = − .
                     −1 1     9                       1 1                  1 −1    9




         10
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы