Математика. Картечина Н.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

12
Здесь использовали первый замечательный предел
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
5) Используем второй замечательный предел
718,2
1
1
lim
≈=
+
∞→
e
n
n
n
. Для
этого преобразуем выражение
12
12
12
2
1
1
2
1
1lim
2
1
1
2
1
1lim
2
1
1
2
1
1
lim
−
∞→
−
∞→
−
∞→
+
+
−
−
=
+
−
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
=
2
1
−
−
= e
e
e
.
Комплексные числа
Задача 1. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы чис-
ла z=z
1
+z
2
(z
1
=-2, z
2
=
+
3
4
sin
3
4
cos2
ππ
i ). Изобразить числа z, z
1
, z
2
. на ком-
плексной плоскости. Вычислить z
12
по формуле Муавра.
Решение. Число z
1
представлено в алгебраической, а число z
2
– в
тригонометрической форме. Переведем z
2
в алгебраическую форму.
Так как
2
1
3
4
cos −=
π
,
2
3
3
4
sin −=
π
, то z
2
= 31 i−− . Получаем
z= 33 i−− - это алгебраическая форма. Модуль 3233
2
=+=z , аргумент
ϕ= arctg
6
7
3
3 π
=
−
−
. Получаем тригонометрическую форму числа z
z= )
6
7
sin
6
7
(cos32
π
π
i+ . На комплексной плоскости изображаем z, z
1
, z
2
.
По формуле Муавра получаем
z
12
=
(
)
2985984)14sin14(cos32)
6
712
sin
6
712
(cos32
612
12
=+=
⋅
+
⋅
ππ
π
π
ii .
Задача 2. Найти все корни уравнения 64х
6
-1=0.
Решение. Выражая из этого уравнения х, получаем
6
64
1
=x . Пред-
ставим число
64
1
в тригонометрической форме )0sin0(cos
64
1
64
1
i+= . По
формуле Муавра получаем )
6
20
sin
6
20
(cos
64
1
6
k
i
k
x
ππ +
+
+
= , где k= 0, 1, …,5.
Получаем
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                Здесь использовали первый замечательный предел lim sin x = 1 .
                                                                     x                       x →0
                                                                                                    n
                5) Используем второй замечательный предел lim 1 + 1                                 = e ≈ 2,718 .   Для
                                                           n →∞    n
                                                                   2 n −1               2n              −1
                                                           1                      1    1 
                                                        1−                  lim1 −  1 −                  e −1
         этого преобразуем выражение                       2 n            =
                                                                              n→ ∞
                                                                                    2n   2n              =      = e −2 .
                                                  lim
                                                   n→ ∞     1                    
                                                                                         2n
                                                                                      1    1 
                                                                                                 −1             e
                                                        1+                  lim1 +  1 + 
                                                           2n               n→ ∞
                                                                                    2n   2n 
                                             Комплексные числа
                Задача 1. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы чис-
                                              4π         4π 
         ла z=z1+z2 (z1=-2, z2= 2 cos          + i sin     ). Изобразить числа z, z1, z2. на ком-
                                              3          3 
         плексной плоскости. Вычислить z12 по формуле Муавра.
              Решение. Число z1 представлено в алгебраической, а число z2 – в
         тригонометрической форме. Переведем z2 в алгебраическую форму.
                                        4π   1            4π     3
                Так        как    cos      =− ,     sin      =−    ,           то    z2= − 1 − i 3 .           Получаем
                                         3   2             3    2
         z= − 3 − i 3 - это алгебраическая форма. Модуль z = 3 2 + 3 = 2 3 , аргумент
                       
                     − 3     
                            7π
         ϕ= arctg      =
                              . Получаем тригонометрическую форму числа z
                    −3  6
                       7π         7π
         z= 2 3 (cos      + i sin    ) . На комплексной плоскости изображаем z, z1, z2.
                        6          6




                По формуле Муавра получаем
                z12= (2 3 ) (cos
                             12     12 ⋅ 7π         12 ⋅ 7π
                                            + i sin         ) = 212 36 (cos14π + i sin 14π ) = 2985984 .
                                       6               6
                Задача 2. Найти все корни уравнения 64х6-1=0.
                                                                                                               1
                Решение. Выражая из этого уравнения х, получаем x = 6                                             . Пред-
                                                                                                               64
                       1                                      1     1
         ставим число    в тригонометрической форме              =      (cos 0 + i sin 0) . По
                      64                                      64 64
                                      1     0 + 2πk         0 + 2πk
         формуле Муавра получаем x = 6 (cos         + i sin         ) , где k= 0, 1, …,5.
                                      64       6               6
         Получаем


         12
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы