Математика. Картечина Н.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

15
(-∞, 0) и (0,+ ∞).Точка х=0 есть точка разрыва.
Так как
∞=
+∞→
=
+→
=
+→
2
lim
1
2
0
lim
0
lim
t
t
e
t
x
ex
x
y
x
(t=
x
1
) , то прямая х= 0
является вертикальной асимптотой. Но
y
x
0
lim
−
=
x
ex
x
1
2
0
lim
−
→
= 0
Наклонных асимптот нет, т. к. при х→±∞ функция
x
exу
1
2
=
имеет
второй порядок малости относительно х. Найдём экстремумы функции.
Для этого вычислим производную.
у
’
=2хе
1/х
– е
1/x
= 2е
1/x
(х-1/2)
Отсюда находим единственную критическую точку х=1/2 , т.к. е
1/x
≠ 0;
у
”
(х)=2е
1/x
– 2/x(e
1/x
)+1/x
2
(e
1/x
) = 1/x
2
(e
1/x
)(2x
2
-2x+1)>0
то на каждом из промежутков области определения график вогнут. и
в точке х= 1/2 функция имеет минимум.
у(1/2)=1/4(e
2
) ≈ 1,87
По результатам исследования строим график. Для уточнения графика
в интервалах (-∞;0) и (1/2,∞) использованы дополнительные точки.
Х= -1 у = е
-1
≈ 0,37 х=1 у=е ≈ 2,72
Функции нескольких переменных
Задача 2. Исследовать на экстремум функцию
Z = - 4+6x – x
2
– xy – y
2
.
Решение. Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую
функцию z=f(x,y) на экстремум, необходимо:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                (-∞, 0) и (0,+ ∞).Точка х=0 есть точка разрыва.
                                     1         t
             Так как lim y = lim x e x = lim e = ∞ (t= ) , то прямая х= 0
                                  2                   1
                     x→+0   x→+0        t→+∞ t 2      x
                                                                1
         является вертикальной асимптотой. Но lim y = lim x 2 e x = 0
                                             x→−0    x→−0
                                                                       1
                                                                    2
                Наклонных асимптот нет, т. к. при х→±∞ функция у = x e x имеет
         второй порядок малости относительно х. Найдём экстремумы функции.
         Для этого вычислим производную.
                                    у’=2хе1/х – е1/x = 2е1/x(х-1/2)
             Отсюда находим единственную критическую точку х=1/2 , т.к. е1/x ≠ 0;
                     у”(х)=2е1/x – 2/x(e1/x)+1/x2(e1/x) = 1/x2(e1/x)(2x2-2x+1)>0
               то на каждом из промежутков области определения график вогнут. и
         в точке х= 1/2 функция имеет минимум.
                                       у(1/2)=1/4(e2) ≈ 1,87
               По результатам исследования строим график. Для уточнения графика
         в интервалах (-∞;0) и (1/2,∞) использованы дополнительные точки.
               Х= -1 у = е-1 ≈ 0,37 х=1 у=е ≈ 2,72




                         Функции нескольких переменных
              Задача 2. Исследовать на экстремум функцию
              Z = - 4+6x – x2 – xy – y2.
              Решение. Чтобы исследовать данную дважды дифференцируемую
         функцию z=f(x,y) на экстремум, необходимо:




                                                                              15
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы