Математика. Картечина Н.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

16
1. Найти частные производные первого порядка
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, прирав-
нять их к нулю и решить систему уравнений:
x
z
∂
∂
= 0;
y
z
∂
∂
= 0. Каждая па-
ра действительных корней этой системы определяет одну стационар-
ную(критическую) точку исследуемой функции. Пусть P
0
(x
0
;y
0
) одна из
этих точек.
2. Найти частные производные второго порядка
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
и вы-
числить их значения в каждой стационарной точке. Положим, что
000
2
22
2
2
,,
PPP
y
z
C
yx
z
x
z
∂
∂
=
∂∂
∂
=Β
∂
∂
=Α
.
3. Составить и вычислить определитель второго порядка:
2
BC
B С
B
−Α=
Α
=∆
.
4. Если в исследуемой стандартной точке P
0
(x
0
;y
0
) ∆>0, функция
z=f(x,y) в этой точке имеет максимум при А<0 и минимум при А>0; если
∆<0, то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования.
Находим стационарные точки данной функции:
yx
y
z
yx
x
z
2,26 −−=
∂
∂
−−=
∂
∂
.
Решение системы
=−−
=−−
;02
,026
yx
yx
даёт x
0
= 4, y
0
= -2.
Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную
точку P
0
(4; -2).
Находим частные производные второго порядка и их значения в
найденной стационарной точке:
2;1;2
2
22
2
2
−=
∂
∂
−=
∂∂
∂
−=
∂
∂
y
z
yx
z
x
z
.
Как видно, производные второго порядка не содержат x, они по-
стоянны в любой точке и, в частности в точке P
0
(4; -2).
Имеем: А= -2; В= -1; С= -2.
0314
21
12
>=−=
−−
−−
=∆
.
Так как ∆ > 0 и A < 0, то в точке P
0
(4; -2) данная функция имеет
максимум:
z
макс
= z (4; -2)= -4+24-16+8-4=8
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                            ∂z    ∂z
                1. Найти частные производные первого порядка   и      , прирав-
                                                            ∂x   ∂y
                                                    ∂z      ∂z
         нять их к нулю и решить систему уравнений:    = 0;    = 0. Каждая па-
                                                    ∂x      ∂y
         ра действительных корней этой системы определяет одну стационар-
         ную(критическую) точку исследуемой функции. Пусть P0(x0;y0) одна из
         этих точек.
                                                           ∂2z ∂2z ∂2z
              2. Найти частные производные второго порядка     ,     ,     и вы-
                                                           ∂x 2 ∂ x∂y ∂y 2
         числить их значения в каждой стационарной точке. Положим, что
             ∂2z        ∂2z               ∂2z 
         Α =  2  ,Β =               , C =  2 .
              ∂ x  P0   ∂ x ∂ y  P0        ∂ y  P0
                3.     Составить   и       вычислить   определитель    второго   порядка:
                 Α B
          ∆ =           = Α C − B      2
                                           .
                 B С
                4. Если в исследуемой стандартной точке P0(x0;y0) ∆>0, функция
         z=f(x,y) в этой точке имеет максимум при А<0 и минимум при А>0; если
         ∆<0, то вопрос об экстремуме требует дополнительного исследования.
               Находим стационарные точки данной функции:
                                   ∂z               ∂z
                                       = 6 − 2x − y, = −x − 2 y .
                                   ∂x               ∂y
                                   6 − 2x − y = 0,
              Решение системы                       даёт x0 = 4, y0 = -2.
                                   − x − 2 y = 0;
              Следовательно, данная функция имеет только одну стационарную
         точку P0 (4; -2).
                   Находим частные производные второго порядка и их значения в
         найденной стационарной точке:
                                  ∂2 z        ∂2 z      ∂2z
                                       = −2;       = −1; 2 = −2 .
                                  ∂x 2       ∂x∂y       ∂y
                   Как видно, производные второго порядка не содержат x, они по-
         стоянны в любой точке и, в частности в точке P0 (4; -2).
                   Имеем: А= -2; В= -1; С= -2.
                     − 2 −1
               ∆=               = 4 −1 = 3 > 0 .
                     −1 − 2
                   Так как ∆ > 0 и A < 0, то в точке P0 (4; -2) данная функция имеет
         максимум:
              zмакс= z (4; -2)= -4+24-16+8-4=8



         16
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы