Ряды. Картечина Н.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

10
Теорема 4. Признак Даламбера.
Пусть дан ряд
∑
∞
=
1
n
n
a с положительными членами. Допустим, что
n
1n
n
a
lim
a
+
∞→
существует и
n
1n
n
a
lim
a
+
∞→
=d.
Тогда:
1. если d<1, то ряд сходится;
2. если d>1, то ряд расходится;
3. если d=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Теорема 5. Признак Коши.
Пусть дан ряд
∑
∞
=
1
n
n
a с неотрицательными членами. Допустим, что
n
n
n
a
lim
∞→
существует и
n
n
n
a
lim
∞→
=q.
Тогда:
1. если q<1, то ряд сходится;
2. если q>1, то ряд расходится;
3. если q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Теорема 6. Интегральный признак.
Пусть дан ряд
∑
∞
=
1
n
n
a с положительными членами, причем
a
1
> a
2
> a
3
>…> a
n
>…
и f(x) – такая непрерывная, монотонно убывающая функция, что
f(n)=a
n
.
Тогда данный ряд и несобственный интеграл
∫
∞+
1
dx)x(f одновремен-
но сходятся или расходятся.
Пример1. Исследовать на сходимость ряд
...
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
6
3
4
2
2
+
+
+
+
+
+
+
=
∑
∞
=
+
n
n2
n
21
2
.
Решение
Все члены данного ряда положительны, общий член a
n
=
n2
n
2
1
2
+
.
Сравним данный ряд с геометрической прогрессией
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                    Теорема 4. Признак Даламбера.
                                         ∞
                    Пусть дан ряд        ∑ an с         положительными членами. Допустим, что
                                      n =1

          lim   a n +1 существует и      lim     a n +1 =d.
         n →∞   an                       n →∞     an
                    Тогда:
                    1. если d<1, то ряд сходится;
                    2. если d>1, то ряд расходится;
                    3. если d=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
                    Теорема 5. Признак Коши.
                                         ∞
                    Пусть дан ряд     ∑ an с           неотрицательными членами. Допустим, что
                                     n =1
          lim
         n →∞
                n
                    a n существует и nlim
                                       →∞
                                          n
                                            a n =q.
                    Тогда:
                    1. если q<1, то ряд сходится;
                    2. если q>1, то ряд расходится;
                    3. если q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
                    Теорема 6. Интегральный признак.
                                     ∞
                    Пусть дан ряд   ∑ a n с положительными членами, причем
                                    n =1
                                            a1> a2> a3>…> an>…
                    и f(x) – такая непрерывная, монотонно убывающая функция, что
                                                   f(n)=an.
                                                                                         +∞
                    Тогда данный ряд и несобственный интеграл                             ∫ f ( x )dx одновремен-
                                                                                          1
         но сходятся или расходятся.

                          Пример1. Исследовать на сходимость ряд
                                             2           22           23             ∞        2n
                                    1+              +            +            + ... = ∑            .
                                         1 + 22         1 + 24       1 + 26         n =11 + 2
                                                                                              2n


                                                          Решение
                    Все члены данного ряда положительны, общий член an=                                    2n       .
                                                                                                         1 + 2 2n
         Сравним данный ряд с геометрической прогрессией




         10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы