Ряды. Картечина Н.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

11
...
2
1
...
2
1
2
1
2
1
1
n32
++++++
, b
n
=
n
2
1
.
Так как
n2
n
2
1
2
+
≤
n2
n
2
2
=
n
2
1
(a
n
≤ b
n
, n=0, 1, 2, 3, …),
т.е. выполнено условие первого признака сравнения и ряд
∑
∞
=
1
n
2
1
сходится (геометрическая прогрессия, для которой q=
2
1
<1), то на основа-
нии первого признака сравнения заключаем, что исходный ряд также схо-
дится.
Пример2. Исследовать на сходимость ряд
...
5
1
4
1
3
1
2
1
1 +++++
Решение
Сравним этот ряд с гармоническим рядом
1+
=++++ ...
n
1
...
3
1
2
1
∑
∞
=
1
n
n
1
,
который, как известно, расходится. Так как в данном случае
a
n
=
n
1
, b
n
=
n
1
(n=1, 2, 3, …) и
n
1
≥
n
1
,
таким образом, по первому признаку сравнения из расходимости
гармонического ряда следует расходимость данного ряда.
Пример3. Исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
−
n
n
n3
1
.
Решение
Сравним данный ряд с геометрической прогрессией
∑
∞
=
1
n
n
3
1
.
В данном случае a
n
=
n
3
1
n
−
, b
n
=
n
3
1
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                    1 1    1         1             1
                                 1 + + 2 + 3 + ... + n + ... , bn= n .
                                    2 2   2         2             2
                Так как
                                  2n        n
                                          ≤2 = 1              (an≤ bn, n=0, 1, 2, 3, …),
                               1 + 2 2n      2   2n
                                                      2   n
                                                                                             ∞   1
                т.е. выполнено условие первого признака сравнения и ряд                      ∑       n
                                                                                             n =12
                                                                                 1
         сходится (геометрическая прогрессия, для которой q= <1), то на основа-
                                                                                 2
         нии первого признака сравнения заключаем, что исходный ряд также схо-
         дится.
                    Пример2. Исследовать на сходимость ряд
                                      1    1    1    1
                                  1+     +    +    +    + ...
                                       2    3    4    5

                                         Решение
                Сравним этот ряд с гармоническим рядом
                                          1 1                 1          ∞ 1
                                    1+ + + ... +                + ... = ∑ ,
                                          2 3                 n         n =1n
                который, как известно, расходится. Так как в данном случае
                                             1       1
                                       an=      , bn= (n=1, 2, 3, …) и
                                              n      n
                                                  1 1
                                                     ≥ ,
                                                   n n
              таким образом, по первому признаку сравнения из расходимости
         гармонического ряда следует расходимость данного ряда.
                                                            ∞
                   Пример3. Исследовать на сходимость ряд ∑ 1 .
                                                           n =13 − n
                                                                n

                                        Решение
                                                                ∞
                Сравним данный ряд с геометрической прогрессией ∑ 1 .
                                                                  n
                                                                                     n =13

                В данном случае an=          1   , bn= 1 .
                                          3n − n      3n




                                                                                                 11

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы