Ряды. Картечина Н.В - 12 стр.

                                an           1   1           3n
                 Так как    lim    = lim ( n   : n ) = lim n     = lim 1 =1, то
                           n →∞ bn   n →∞ 3 − n 3      n →∞ 3 − n n →∞ 1 − n
                                                                                  3n
         есть по второму признаку сравнения из сходимости геометрической про-
                                              1
         грессии (знаменатель которой q= ) следует сходимость данного ряда.
                                              3
                                                                      ∞     1 .
                      Пример3. Исследовать на сходимость ряд         ∑
                                                                     n =1n ⋅ n
                                                                            n


                                              Решение
                                                                                            ∞   1
                 Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом                     ∑n.
                                                                                           n =1
         Поскольку
              an           1  1          n       1
          lim    = lim ( n : ) = lim n = lim n = 1 ,
         n →∞ bn   n →∞ n ⋅ n n  n →∞ n ⋅ n n →∞ n
                                                                       ln n
         ( lim n n = 1 , применено правило Лопиталя к функции ln n n =      ), то
          n →∞                                                                         n
         есть по второму признаку сравнения из расходимости гармонического ряда
         следует расходимость данного ряда.

                                                                ∞      1
                      Пример 4. Доказать сходимость ряда        ∑             .
                                                               n =1(3n − 1)3n


                                               Решение
                 Преобразуем формулу для общего члена ряда
                         1                 1            1       1             1
                 an=            =                =            = 2      .  ⋅
                     (3n − 1)3n              1         1      1 
                                  (3n ) 2 1 −  9n 2 1 −  9n
                                                             1 − 
                                           3n        3n   3n 
                                                           ∞             ∞
               Рассмотрим ряд с общим членом bn= 1 . Ряд ∑ 1 = 1 ∑ 1 яв-
                                                                 2   9 n =1n 2
                                                    9n 2  n =19n
         ляется рядом Дирихле и, так как р=2>1, сходится.
                                                              
                                                           1 
              Поскольку lim a n = lim  1 ⋅         1
                                                          :      =  lim
                                                                             1
                                                                                   = 1, то по
                                  n → ∞  9n                      n →∞        
                                                 1 −  9n 
                         n →∞ b n            2        1      2                 1
                                                                         1− 
                                              3n                    3n 
         второму признаку сравнения исходный ряд также сходится.

                      Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

         12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com