Ряды. Картечина Н.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

14
Решение
Поскольку а
n
=
!
n
1n2
−
; а
n+1
=
)!1n(
1n2
)!1n(
1)1n(2
+
+
=
+
−
+
;
10
1
n
n
2
1n2
lim
)1n2)(1n(
1n2
lim
)1n2()!1n(
!n)1n2(
lim
a
a
lim
2
n
nn
n
1n
n
<=
−
+
+
=
−+
+
=
−+
+
=
∞→
∞→∞→
+
∞→
Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.
Пример 9. Доказать сходимость ряда
...
1111
1
5
4
3
2
5432
+++++
Решение
Применим признак Коши. В данном случае а
n
=
n
n
1
,
0
n
1
1
а
limlimlim
n
n
n
n
n
n
n
===
∞
→
∞
→
∞
→
, то есть q=0<1, поэтому ряд сходится.
Пример 10. Доказать сходимость ряда
∑
∞
→
⋅
1
n
nn
n2
1
Sinn
.
Решение
Применим признак Коши. В данном случае а
n
=
n
2
1
Sinn
nn
⋅
,
1
2
1
1
n2
1
Sin
2
1
n
1
n2
1
Sin
n2
1
Sinn
n2
1
Sinna
lim
limlimlimlim
n
nn
n
nn
n
n
n
n
<=⋅
==⋅=⋅=
∞→
∞→∞→∞→∞→
Ряд сходится.
Пример 11. С помощью интегрального признака доказать схо-
димость ряда
∑
∞
=
+
1
n
2
1n
1
.
Решение
Общий член данного ряда определяется формулой
a
n
=f(n)=
1
n
1
2
+
(n=0, 1, 2, 3, …).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                        Решение
                                      2n − 1         2(n + 1) − 1 2n + 1
                Поскольку аn=                ; аn+1=             =          ;
                                        n!             (n + 1)!    (n + 1)!
                    a n +1             (2n + 1)n!                2n + 1
                 lim       = lim                     = lim
                n →∞ a n     n → ∞ ( n + 1)!( 2n − 1) n → ∞ ( n + 1)( 2n − 1)

                            2n + 1
                = lim           = 0 <1
                         + n −1
                  n → ∞ 2n 2
                Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.
                     Пример 9. Доказать сходимость ряда
                                                        1           1       1           1
                                                   1+       2
                                                                +   3
                                                                        +       4
                                                                                    +   5
                                                                                            + ...
                                                        2           3       4           5

                                                        Решение
                                                                                                       1
                Применим признак Коши. В данном случае аn=                                                 ,
                                                                                                    nn
                                                   = 0 , то есть q=0<1, поэтому ряд сходится.
                                       1         1
                lim n а n   = lim n        = lim
                n→∞            n →∞   nn    n →∞ n
                                                            ∞
                        Пример 10. Доказать сходимость ряда ∑ n n ⋅ Sin n 1 .
                                                                                                n →1           2n

                                       Решение
                Применим признак Коши. В данном случае аn= n n ⋅ Sin n 1 ,
                                                                                   2n
                                                                                      1
                                                                                 Sin
                                                       1                1            2n
                            lim n a n = lim n n ⋅ Sin 2n = lim n ⋅ Sin 2n = lim 1 =
                                               n     n
                            n →∞        n →∞               n →∞             n →∞
                                                                                    n
                                        1
                                   Sin
                                 1     2n 1
                            lim 2 ⋅ 1 = 2 < 1
                            n →∞
                                      2n
              Ряд сходится.
                    Пример 11. С помощью интегрального признака доказать схо-
                       ∞
         димость ряда ∑ 1 .
                      n =1n + 1
                           2


                                         Решение
                Общий член данного ряда определяется формулой
                                an=f(n)=
                                           1 (n=0, 1, 2, 3, …).
                                         n2 +1


         14

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы