Ряды. Картечина Н.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

15
Записывая в этой формуле х вместо n, получаем функцию f(х)=
1
х
1
2
+
.
Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака: она прини-
мает положительные значения и убывает с возрастанием х.
Докажем сходимость несобственного интеграла для данного случая:
∫
∞
+
1
2
1х
dx
=
()
442
1arctgarctgb
1
arctgx
lim
b
πππ
=−=−=
∞
∞→
.
Так как интеграл сходится, то сходится и соответствующий ряд.
Пример 12. С помощью интегрального признака доказать схо-
димость ряда
∑
∞
=
⋅
2
n
nlnn
1
.
Решение
Общий член данного ряда определяется формулой а
n
=
n
n
1
⋅
(n≥ 2).
Обратим внимание на то, что суммирование начинается с n=2 (при n=1 со-
ответствующий член ряда не определен, так как в знаменателе содержится
множитель ln1=0). Из формулы для общего члена ряда находим функцию
f(x)=
х
ln
х
1
⋅
(x≥2).
Получаем
=
⋅
∫
∞
2
lnxx
dx
ln(lnx)
∞=
∞
2
.
Так как интеграл расходится, то расходится и данный ряд.
ЗАДАЧИ
В № 31-40 исследовать ряд на сходимость, применив первый
или второй признак сравнения:
№ 31.
∑
∞
=
+
1
n
n2
n
31
3
.
№ 32.
∑
∞
=
+
1
n
n
3n
1
. Указание. Сравнить с
∑
∞
=1n
n
3
1
.
№ 33.
∑
∞
=
+
1
n
2
n3
1
. Указание. Сравнить с
∑
∞
=1n
2
n
1
.
№ 34.
∑
∞
=
+
1n
3
n1
1
.
№ 35.
∑
∞
=
1
n
nln
1
. Указание. Сравнить с
∑
∞
=1n
n
1
, т. к. n > ln n.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                Записывая в этой формуле х вместо n, получаем функцию f(х)= 1 .
                                                                                        х2 +1
         Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака: она прини-
         мает положительные значения и убывает с возрастанием х.
               Докажем сходимость несобственного интеграла для данного случая:
               ∞
                 dx =       ∞                      π π π.
                ∫         arctgx = lim (arctgb − arctg1) = − =
                1 х 2
                      + 1       1 b →∞                    2 4 4
                Так как интеграл сходится, то сходится и соответствующий ряд.
                       Пример 12. С помощью интегрального признака доказать схо-
                             ∞       1
         димость ряда    ∑ n ⋅ ln n .
                         n=2

                                                     Решение
                                                                                   1
              Общий член данного ряда определяется формулой аn=                         (n≥ 2).
                                                                               n ⋅ ln n
         Обратим внимание на то, что суммирование начинается с n=2 (при n=1 со-
         ответствующий член ряда не определен, так как в знаменателе содержится
         множитель ln1=0). Из формулы для общего члена ряда находим функцию
         f(x)= 1 (x≥2).
              х ⋅ ln х
                                 ∞                  ∞
                Получаем ∫ dx = ln(lnx) = ∞ .
                          2 x ⋅ lnx
                                         2
                Так как интеграл расходится, то расходится и данный ряд.

                                       ЗАДАЧИ
                    В № 31-40 исследовать ряд на сходимость, применив первый
         или второй признак сравнения:
                      ∞     3n .
               № 31. ∑
                     n =11 + 3
                               2n
                        ∞        1                              ∞
                № 32. ∑                  . Указание. Сравнить с ∑ 1 .
                        n =1n + 3
                                     n                               n
                                                               n =13
                         ∞    1                                 ∞ 1
                № 33. ∑                  . Указание. Сравнить с ∑          .
                        n =13 + n
                                     2                                 2
                                                               n =1n
                        ∞        1
                № 34.   ∑                .
                        n =11 + n
                                     3

                         ∞   1 . Указание. Сравнить с ∞ 1 , т. к. n > ln n.
                № 35.   ∑                             ∑
                        n =1ln n                     n =1n




                                                                                            15

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы