Ряды. Картечина Н.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

13
...
2
n
...
2
3
2
2
2
1
n32
+++++
Решение
Применим признак Даламбера. Общий член данного ряда a
n
=
n
2
n
, то-
гда a
n+1
=
1n
2
1n
+
+
и
1
2
1
n2
2)1n(
lim
a
a
lim
1n
n
n
n
1n
n
<=
⋅
⋅+
=
+
∞→
+
∞→
.
Ответ: ряд сходится.
Пример 6. Доказать сходимость ряда
...
2
4
2
3
2
2
2
1
432
++++
Решение
Общий член ряда определяется формулой а
n
=
n
2
n
. Заменяя в этой
формуле n на n+1, получаем последующий член а
n+1
=
1n
2
1n
+
+
. Найдем пре-
дел
1
2
1
1
2
1
n
1
1lim
2
1
n2
1n
lim
n2
21n
lim
a
a
lim
nn
1n
n
n
n
1n
n
<=⋅=+=
+
=
⋅
⋅+
=
∞→∞→
+
∞→
+
∞→
.
Следовательно, по признаку Даламбера заключаем, что ряд сходится.
Пример 7. Доказать расходимость ряда
∑
∞
=1n
5
n
n
5
.
Решение
Применим признак Даламбера. Поскольку а
n
=
5
n
n
5
; а
n+1
=
5
1n
)1n(
5
+
;
=
+
=
+
⋅
=
⋅+
⋅
=
∞→∞→
+
∞→
+
∞→
5
n
5
5
n
n5
51n
n
n
1n
n
)
1n
n
(lim5
)1n(
n5
lim
5)1n(
n5
lim
a
a
lim
515
n
1
1
1
lim5
5
n
=⋅=
+
=
∞→
>1,
ряд расходится.
Пример 8. Доказать сходимость ряда
∑
∞
=
−
1n
!n
1n2
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                       1 2    3         n
                                        + 2 + 3 + ... + n + ...
                                       2 2   2         2

                                               Решение
                                                                                               n
                Применим признак Даламбера. Общий член данного ряда an=                                , то-
                                                                                                   n
                                                                                               2
                                            ( n + 1) ⋅ 2 n
         гда an+1= n + 1 и lim n +1 = lim
                                 a                         1
                                                n +1
                                                         =   < 1.
                     n +1
                   2       n → ∞  a n n → ∞   2 ⋅n         2
               Ответ: ряд сходится.
                                                                  1   2    3   4
                      Пример 6. Доказать сходимость ряда            + 2 + 3 + 4 + ...
                                                                  2 2    2   2

                                       Решение
                Общий член ряда определяется формулой аn= n . Заменяя в этой
                                                                              2n
         формуле n на n+1, получаем последующий член аn+1= n + 1 . Найдем пре-
                                                                               2 n +1
                   a n +1         n + 1 ⋅ 2n       n +1 1        1 1       1
         дел   lim        = lim n +1         = lim     = lim 1 + = ⋅ 1 = < 1.
              n →∞ a n      n →∞ 2    ⋅ n n →∞ 2 n      2 n →∞   n 2       2
         Следовательно, по признаку Даламбера заключаем, что ряд сходится.
                                                                      ∞   5n .
                      Пример 7. Доказать расходимость ряда            ∑ 5
                                                                      n =1n


                                               Решение
                                                                          n             n +1
                Применим признак Даламбера. Поскольку аn= 5 ; аn+1= 5         ;
                                                            5
                                                          n        ( n + 1) 5

                         a n +1           5 n +1 ⋅ n 5             5⋅ n5               n 5
                     lim        = lim                    =  lim             = 5  lim (   ) =
                    n →∞ a n      n → ∞ ( n + 1) 5 ⋅ 5 n   n → ∞ ( n + 1) 5     n →∞ n +1
                                                     5
                                               
                                             1 
                                    = 5 lim     = 5 ⋅1 = 5 >1,
                                       n → ∞  1
                                            1+ 
                                             n
                ряд расходится.
                                                                  ∞   2n − 1
                      Пример 8. Доказать сходимость ряда          ∑          .
                                                                  n =1  n!



                                                                                                         13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы