Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

100 Часть II. Нелокальный анализ
Напомним, что y(t) имеет порядок ε
−1
, тем самым решение x(t) отнюдь
не мало.
По-видимому, других устойчивых (непостоянных) решений при малых
ε уравнение (0.1) не имеет.
Вид функции y(t) совпадает с указанным на рис.5(b).
2.3. Периодические решения при условии близости параметра b к 1.
Здесь предполагаем, что в формуле (0.4)
b = 1 − ε, где 0 < ε ¿ 1. (2.2)
Обозначим через x(t, ε) решение уравнения (0.1) с начальным услови-
ем из введеного выше множества C, в котором лишь параметр b
1
следует
заменить на b. Изучим поведение x(t, ε) при ε → 0. При t ∈ [0, T ] имеем
равенство x(t, ε) = (1 − ε) exp(−t). Если выполнено условие
exp(−T ) > a, (2.3)
то x(t, ε) является устойчивым периодическим решением уравнений (0.1) и
(1.1) (x(t, ε) = x
b
(t, T )). Его период P = −ln ε + O(ε).
При увеличении параметра a и при нарушении условия (2.3) структура
периодического решения усложняется. Соответствующие численные иссле-
дования приведены в параграфе 4.
2.4. Асимптотика простейших аттракторов уравнения первого порядка
при больших значениях запаздывания T .
Основное условие, при котором ниже будет исследоваться уравнение
(0.1), заключается в том, что параметр T предполагается достаточно боль-
шим:
T À 1. (2.4)
Поэтому в уравнении (0.1) удобно сделать нормировку времени t → T t, в
результате которой приходим к уравнению
ε ˙x + x = f(x(t − 1)), (2.5)
где ε = T
−1
¿ 1. Обратим внимание, что разностное уравнение
x(t) = f(x(t − 1)), (2.6)
в которое вырождается (2.5) при ε = 0, имеет при
0 < a < b < 1 (2.7)

Страницы