Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Динамика уравнения со ступенчатой нелинейной... 99
В уравнении (0.1) удобно произвести замену x = εy, в результате кото-
рой приходим к уравнению
˙y + y = ε
−1
Φ(y(t −T)),
Φ(s) =
½
1, при a
1
≤ s ≤ b
1
,
0, при 0 ≤ s < a
1
или b
1
< s ≤ 1.
(2.1)
Обозначим через C множество начальных функций
C =
n
ϕ(s) ∈ C
[−T,0]
, ϕ(0) = b
1
b
1
< ϕ(s) при s ∈ [−T, 0)
o
.
Пусть y(t) – решение (2.1) с начальной функцией из C (это решение не
зависит от выбора конкретного элемента из C). При t ∈ [0, T ] имеем ра-
венство y(t) = b
1
exp(−t), а при t ∈ (T, 2T ]
y(t) = b
1
exp(−t) + ε
−1
α(t), где
α(t) =
t−T
R
0
exp(−(t − s − T ))Φ(b
1
exp(−s))ds.
Пусть t
0
(ε) – первый при t > 2T корень уравнения y(t) = b
1
. Легко видеть,
что при t ∈ (2T, t
0
(ε)) верна формула
y(t) = ε
−1
h
α(2T ) exp(−(t − 2T )) + O(ε)
i
,
следовательно, имеет место равенство
t
0
(ε) = −ln(ε)
h
1 + O(|ln ε|
−1
)
i
.
В силу того, что y(t
0
(ε) + s) ∈ C (s ∈ [−T, 0]), приходим к выводу,
что оператор Пуанкаре Π(ϕ(s)) = y(t
0
(ε) + s) имеет неподвижную точку
ϕ
0
(s) = b
1
exp(−s), которой отвечает периодическое решение y(t).
Используя полученные для y(t) формулы, можно исследовать устой-
чивость этого решения. Анализируя линеаризованное на y(t) уравнение,
удается показать, что все, кроме одного – единичного, мультипликаторы
по модулю меньше, чем 1. Это означает, что y(t) экспоненциально орби-
тально устойчиво. Отметим, что параметр a
1
влияет только на амплитуду
α(2T ) периодического решения. Итак, установлено, что имеет место
Теорема 2.1 При всех достаточно малых значениях параметра ε урав-
нение (0.1) имеет устойчивое периодическое решение x
0
(t) = εy(t).

Страницы