Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Динамика уравнения с релейной запаздывающей... 97
Решение уравнения (1.12) с начальным условием из C(τ) обозначим через
x(t, τ). Функция x(t, τ) зависит от τ и не зависит от выбора конкретной
функции φ(s). Будем искать периодическое решение x
a
(t) в классе решений
x(t, τ). При t ∈ (0, T τ] имеем равенство
x(t, τ) = (a − 1) exp(−t) + 1,
а при t ∈ (T τ, T ]
x(t, τ) = x(T τ, τ) exp −(t −T τ). (1.13)
Нам потребуются первый и второй (если они существуют) положительные
корни t
1
(τ) и t
2
(τ) уравнения x(t, τ) = a. Для t
1
(τ) из (1.13) получаем
t
1
(τ) = T τ + ln
1 + (a − 1) exp(−T τ)
a
.
Отметим, что в случае, когда x(T, τ) > a, значения t
j
(τ) не существуют, а
функция x(t, τ), как решение уравнения (1.12), стремится к 1 при t → ∞.
Далее, при t > T в течение отрезка времени длины t
1
(τ) верна формула
x(t, τ) = (x(T, τ) − 1) exp −(t − T ) + 1.
Если x(T +t
1
(τ), τ) < a, то x(t, τ) → 0 при t → ∞. Если x(T +t
1
(τ), τ) > 0,
то для t
2
(τ) получаем выражение
t
2
(τ) = T + ln
1 − x(T, τ)
1 − a
.
Важный вывод заключается в том, что функция x(t
2
(τ)+s, τ) обладает
свойствами функции φ(s), а следовательно, принадлежит множеству C(¯τ),
где
¯τ = 1 + (t
1
(τ) − t
2
(τ))T
−1
. (1.14)
Таким образом, поведение решений x(t, τ) при t → ∞ тесно связано с
динамикой одномерного отображения (1.14) отрезка [0, 1] в себя.
Как оказалось, отображение (1.14) является монотонно возрастающей
функцией. Оно имеет одну неподвижную точку τ
0
, производная (по τ)
в которой больше 1. Тем самым в рассматриваемом классе существует
единственное (с точностью до сдвига по времени) периодическое реше-
ние x
a
(t) = x(t, τ
0
). Это решение неустойчиво, причем все решения из его
окрестности стремятся к 1 или к 0 при t → ∞.
Подведем итог сказанному.

Страницы