Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

98 Часть II. Нелокальный анализ
Теорема 1.2 Пусть
(a − 1) exp(−τ
0
) + 1 < b.
Тогда существует единственное (с точностью до сдвига по времени) от-
личное от константы периодическое решение x
a
(t), имеющее на каждом
интервале длины T не более двух пересечений с прямой x = a. Это реше-
ние неустойчиво.
Аналогично строятся быстро осциллирующие решения уравнения
(1.12).
§2. Динамика уравнения со ступенчатой нели-
нейной обратной связью. Асимптотический
анализ
2.1. В этом разделе асимптотическими методами исследуются динамиче-
ские свойства решений уравнения (0.1) в случае, когда нелинейность f(x)
имеет ступенчатый вид (0.4). В первых двух пунктах приведены базирую-
щиеся на результатах работ [16]-[17] утверждения о существовании устой-
чивого цикла при условии, когда либо параметры a и b достаточно малы,
либо параметр b близок к 1. Основное содержание настоящего раздела за-
ключено в третьем пункте, где рассмотрен вопрос о динамике уравнения
(0.1) при условии, когда запаздывание T достаточно велико. В четвертом
пункте, имеющем важное прикладное значение, эти результаты обобщают-
ся на более сложные случаи. Сформулированы выводы о существовании
широкого множества „долгоживущих“ структурных образований из реше-
ний рассматриваемого уравнения. Соответствующие результаты базируют-
ся на предложенных в [13]-[7] специальных методах большого параметра
для сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием.
2.2. Асимптотика релаксационного цикла уравнения первого порядка при
малых значениях параметров a и b.
Пусть в формуле (0.4) параметры a и b являются достаточно малыми:
b = εb
1
, a = εa
1
,
где b
1
> a
1
≥ 0 и 0 < ε ¿ 0.
При этих условиях рассмотрим вопрос о существовании, асимптотике
(при ε → 0) и устойчивости периодических решений уравнения (0.1).

Страницы