Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

96 Часть II. Нелокальный анализ
начального условия (т.е. при увеличении числа осцилляций вокруг пря-
мой x = b) время выхода на устойчивый медленно осциллирующий цикл
существенно возрастает.
1.5. Неустойчивый цикл, осциллирующий около значения x = a. Рассмот-
рим уравнение
˙x + x = f
a
(x(t − T )) (1.12)
с релейной нелинейностью при b = 1 (см. рис. 10)
f
a
(s) =
½
0, 0 ≤ s ≤ a,
1, a < s ≤ 1.
Отметим, что уравнение (1.12) имеет два устойчивых состояния равновесия
x(t) ≡ 0 и x(t) ≡ 1.
Рис. 10.
Изучим вопрос о существовании в уравнении (1.12) цикла x
a
(t). Поло-
жим x
a
(0) = a и ˙x
a
(0) > 0. Тогда x
a
(−T ) > a, а следовательно, на каждом
отрезке длины T функция x
a
(t) хотя бы один раз принимает значение a.
Рассмотрим вопрос о существовании простейшей из таких функций, ко-
торая имеет не более двух пересечений с осью x = a на каждом отрезке
времени длины T .
Рассмотрим множество C(τ) начальных функций φ(s), зависящее от
параметра τ:
C(τ) =
n
φ(s) ∈ C
[−T,0]
:
1. φ(0) = a, φ(−T (1 − τ)) = a (0 < τ < 1);
2. φ(s) > a при s ∈ [−T, −T (1 − τ)),
φ(s) < a при s ∈ [−T (1 − τ), 0)
o
.

Страницы