Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

94 Часть II. Нелокальный анализ
Поскольку функция P (z) монотонно возрастает, и P (z) → 0 при z → +0,
то это уравнение для каждого m имеет единственное решение z
m
. Отсюда
следует, что каждая из функций x
b
(t, z
m
) (m = 0, 1, . . .) является периоди-
ческим решением уравнения (1.2). На интервале (−T, 0) количество корней
уравнения x
b
(t, z
m
) = b равно 2m.
Неподвижная точка отображения (1.11), которой отвечает решение
x
b
(t, z
1
), легко находится из приведенных выше формул для x
b
(t, z). Отме-
тим, что периодические решения x
b
(t, z
m
) при m ≥ 1 неустойчивы. Числен-
ный анализ показывает, что все решения (1.2) стремятся к x
b
(t + const, T ).
Проиллюстрируем явление. На „фазовой плоскости“ (τ
1
; τ
2
)
отображения (1.11), зафиксируем произвольно точку (τ
1
, τ
2
)
(0 < τ
1
, τ
2
< 1, τ
1
+ τ
2
< 1), и производим, согласно (1.11), итера-
ции при T = 20 (рис. 7(а)) и при T = 30 (рис. 7(b)). Различные цвета на
этой плоскости определяют число итераций, после которого неравенства
(1.9) и (1.10) перестают быть верными, т.е. соответствующее решение
потеряло начальную структуру и стало медленно осциллирующим.
Рис. 7.
График поведения траектории отображения (1.11) приведен на рис.
8(a),8(b).
Отметим, что при увеличении T количество итераций, необходимых для
того, чтобы все точки закрасились в темный цвет, резко возрастает.
1.4. Оценка времени сходимости к простейшему циклу. Уравнение (1.2)
не имеет устойчивых решений, кроме простейшего медленно осциллиру-

Страницы