Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Динамика уравнения с релейной запаздывающей... 93
При условии x(T (τ
1
+ τ
2
), τ) < b решение x(t, τ) стремится к медленно
осциллирующему периодическому решению x
b
(t + const, T ). Пусть
x(T (τ
1
+ τ
2
), τ) > b. (1.9)
Обозначим, как и раньше, через t
1
(τ), t
2
(τ) – первый и второй положи-
тельные корни уравнения x(t, τ) = b. Тогда получаем равенства
t
1
(τ) = T τ
1
+ ln(1 − b exp(−T τ
1
)) − ln(1 − b),
t
2
(τ) = T (τ
1
+ τ
2
) + ln x(T (τ
1
+ τ
2
), τ) − ln b.
Если t
2
(τ) ≥ T , то x(t, τ) стремится к x
b
(t + const, T ). Пусть
t
2
(τ) < T. (1.10)
Рассмотрим оператор Пуанкаре
Π(ϕ(s, τ)) = x(t
2
(τ) + s, τ).
При условиях (1.9), (1.10) этот оператор преобразует множество C(τ
1
, τ
2
) в
C(¯τ
1
, ¯τ
2
), где
¯τ
1
= (1 − t
2
(τ))T
−1
, ¯τ
2
= t
1
(τ)T
−1
. (1.11)
Тем самым двумерное отображение (1.11) определяет динамику решений
уравнения (1.2).
Аналогичным способом строятся 2m-мерные (m = 2, 3, . . .) отображе-
ния, описывающие поведение решений с 2m пересечениями прямой x = b
на некоторых отрезках времени длины T . Динамика таких отображений
определяет поведение решений уравнения (1.2) при t → ∞ с начальными
условиями из выбранных специальных множеств.
Покажем, что каждое из таких отображений имеет неподвижную точку.
Отметим, что неподвижной точке отвечает периодическое решение уравне-
ния (1.2).
Зафиксируем произвольное z > 0 и рассмотрим функцию x
b
(t, z). Через
P (z) обозначим период этой функции. Для каждого целого m = 1, 2, . . .
функция x
b
(t, z) является периодическим решением уравнения
˙x + x = f(x(t − z − mP (z))).
Рассмотрим уравнение относительно z:
T = z + mP (z).

Страницы