Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Динамика уравнения со ступенчатой нелинейной... 101
глобально суперустойчивое нулевое состояние равновесия. Поставим зада-
чу изучения динамики уравнения (2.5) при условиях (2.4) и (2.7). Будет
показано, что это уравнение обладает богатой динамикой, а его решения
имеют сложную структуру. Отметим еще, что каждое решение уравнения
(2.5) при достаточно больших t лежит на отрезке [0, 1].
Условимся о терминологии. Соседние моменты времени, когда решение
уравнения (2.5) принимает значение x = a с положительной и отрицатель-
ной производной, назовем соответственно началом и концом всплеска.
В этом пункте изучим аттракторы уравнения (2.5), состоящие из реше-
ний с одним всплеском на некоторых отрезках времени длины 1.
Напомним методику исследования. В фазовом пространстве C
[−1,0]
уравнения (2.5) выделяем некоторое множество C(z), зависящее от пара-
метра z. Затем строим асимптотику при ε → 0 всех решений с начальными
условиями из C(z). Далее с помощью некоторого оператора Пуанкаре Π
удается показать, что ΠC(z) ⊂ C(¯z), где ¯z зависит только от z: ¯z = Φ(z).
Таким образом, динамика решений из C(z) определяется итерациями од-
номерного отображения ¯z = Φ(z).
Итак, введем в рассмотрение множество C(z):
C(z) =
(
ϕ(s, z) ∈ C
[−1,0]
(s ∈ [−1, 0], z > 0) :
1. a ≤ ϕ(s, z) ≤ b при s ∈ [−1, −1 + εz];
2. a > ϕ(s, z) > 0 при s ∈ (−1 + εz, 0)];
3. ϕ(−1 + εz, z) = ϕ(0, z) = a.
)
Вид функции ϕ(s, z) приведен на рис. 11.
Через x(t, z) обозначим решение с начальным условием ϕ(s, z) ∈ C(z).
Тем самым при t = 0 начинается всплеск функции x(t, z). Легко видеть,
что x(t, z) не зависит от выбора конкретной функции из C(z).
Будем последовательно интегрировать уравнение (2.5) для построения
решения x(t, z).
При t ∈ [0, εz] получаем, что x(t, z) = (a − 1) exp(−ε
−1
t) + 1 и
x(εz, z) = g(z), где g(z) = (a − 1) exp(−z) + 1. На отрезке [εz, 1] функ-
ция x(t, z) монотонно убывает:
x(t, z) = g(z) exp(−(t − εz)ε
−1
). (2.8)
Возможны два случая:
1
0
. g(z) ≤ b (2.9)

Страницы