Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

102 Часть II. Нелокальный анализ
Рис. 11.
и
2
0
. g(z) > b. (2.10)
Рассмотрим отдельно каждый из них. Пусть сначала выполнено нера-
венство (2.9). Через εt
1
обозначим первый положительный корень уравне-
ния (момент окончания первого при t ≥ 0 всплеска)
x(t, z) = a. (2.11)
Тогда t
1
= z+ln g(z)−ln a. На отрезке [1, 1+εt
1
] функция x(t, z) монотонно
растет:
x(t, z) = 1 − exp(−(t − 1)ε
−1
) + O(exp(−ε
−1
)). (2.12)
Если x(1+εt
1
, z) < a, то x(t, z) → 0 при t → ∞. Пусть z
0
- корень уравнения
x(1 + εt
1
, z) = a. Тогда
z
0
= ln
¡
(1 − a + a
2
)(1 − a)
−1
¢
.
Ниже предполагаем, что
z > z
0
. (2.13)
Тогда x(1 + εt
1
, z) > a, а следовательно, существует первый при t > 1
момент 1 + εt
0
начала всплеска функции x(t, z): x(1 + εt
0
, z) = a. Отсюда
t
0
< t
1
и t
0
= −ln(1 − a).
Вид функции x(t, z) изображен на рис. 12.
Как и выше, введем оператор Пуанкаре Π:
Π(ϕ(s, z)) = x(1 + εt
0
+ s, z) (s ∈ [−1, 0]). (2.14)

Страницы