Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Динамика уравнения со ступенчатой нелинейной... 105
Тем самым, при условиях (2.10), (2.18) и (2.19), т.е. при
z
0
< z < z
1
,
оператор Π переводит C(z) в C(¯z) : ΠC(z) ⊂ C(¯z), причем ¯z = t
3
− t
0
. С
точностью до O(exp(−ε
−1
)) получаем зависимость ¯z от z
¯z = ln
³
b(1 − a)a
−1
´
− ln
h
1 − b(b − a)((1 − b)(a − 1 + exp z))
−1
i
. (2.20)
Объединяя формулы (2.16) и (2.20), получаем отображение
¯z = Φ(z), (2.21)
где с точностью до o(1)
Φ(z) =
z + ln
1 − a
a
+ ln g(z), при z
0
< z ≤ ln
1 − a
1 − b
ln
³
b(1−a)
a
´
−
−ln
h
1 −
b(b−a)
(1−b)(a−1+exp z)
i
, при ln
1 − a
1 − b
< z < z
1
Отметим, что в плоскости параметров a и b существует область (на
рис. 14 она выделена черным цветом), в которой отображение (2.21) имеет
аттрактор – устойчивое ненулевое состояние равновесия. Аналитически эта
область описывается системой неравенств:
½
1 − a + ab(b − a)[(1 − b)(a − b + ab)]
−1
< 0,
b < 2a − a
2
.
(2.22)
В этой области уравнение (2.5) имеет аттрактор, динамика которого
описывается одномерным отображением (2.21). На рис. 15(a) приведен ха-
рактерный график функции Φ(z) для a = 0.3, b = 0.48, а на рис. 15(b) —
график решения x(t) при T = 1000.
В областях A и B (см. рис. 14), границей которых является кривая
b = a(1 − a + a
2
)
−1
, отображение аттрактора не имеет. В области A вы-
полнено неравенство z
0
> ln
1 − a
1 − b
, следовательно, функция Φ(z) состоит
только из одной части, в то время как в области B верно неравенство
z
0
< ln
1 − a
1 − b
, и Φ(z) состоит из двух частей.
2.5. Долгоживущие структуры.
Обобщим конструкцию решений из пункта 2.4. Рассмотрим решения,
имеющие произвольное число k > 0 всплесков на некоторых отрезках дли-
ны 1 и обладающие тем свойством, что при ε → 0 расстояние между всплес-
ками имеет порядок O(1).

Страницы