Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

108 Часть II. Нелокальный анализ
которых (j = 0, 1, . . . , k)
1) ϕ(τ
j
, τ, z) = a, ϕ(τ
j
+ εz
j
, τ, z) = a,
2) ϕ(s, τ, z) < a при s ∈ (τ
j
+ εz
j
, τ
j+1
,
3) ϕ(s, τ, z) > a при s ∈ (τ
j
, τ
j
+ εz
j
).
Здесь при каждой итерации соответствующего оператора Пуанкаре с
точностью до O(ε) величины z
j
при ограничениях пункта 2.4 меняются
независимо друг от друга, а величины τ
j
не меняются. Негрубость воз-
никающего здесь отображения не дает возможности установить наличие
аттрактора, поскольку погрешности из-за отбрасывания асимптотически
малых величин могут накапливаться. Но можно, конечно, сделать вывод о
существовании соответствующих „долгоживущих“ структур, время „жиз-
ни“ которых тем дольше, чем меньше ε.
§3. Динамика уравнения с нелинейностью им-
пульсного типа
3.1. Основное предположение относительно нелинейной функции f(s) в
настоящем разделе заключается в том, что ее „действие“ сосредоточено
в изолированных точках. Поясним это высказывание. Предполагаем, что
функция f(s) имеет импульсный тип – является δ−функцией, сосредото-
ченной в некоторой точке γ > 0:
f(s) = 0, если s 6= γ, и
+∞
R
−∞
f(s)ds = α (0 < α ≤ 1).
(3.1)
Сразу отметим, что задачи исследования динамики уравнения (0.1) при
условиях (0.4) и (3.1) в некотором смысле довольно близки друг к другу.
Так, параметр α в (3.1) является аналогом разности b −a (длины „ступень-
ки“), а параметр γ по смыслу принадлежит отрезку [a, b]. Конечно, постав-
ленная задача в случае (3.1) существенно проще, по сравнению с (0.4). При
условии (3.1) решения (0.1) являются кусочно-непрерывными и формиру-
ются из скачков (импульсов) и убывающих функций вида c exp(−t) (c > 0).
Главное преимущество условия (3.1) состоит в том, что здесь возможно
полное аналитическое изучение динамических свойств решений (0.1).
Итак, ниже исследуется динамика уравнения (0.1) при условии, когда
f(s) имеет импульсный тип. Соответствующие исследования базируются

Страницы