Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

110 Часть II. Нелокальный анализ
Теорема 3.1 Пусть выполнено условие
exp(−T ) + αγ
−1
> 1. (3.4)
Тогда уравнение (0.1) имеет единственное с точностью до сдвига по вре-
мени МО периодическое решение x
0
(t). Это решение L−устойчиво. Если
же
exp(−T ) + αγ
−1
< 1, (3.5)
то уравнение (0.1) не имеет МО решений.
Для доказательства этой теоремы сначала отметим, что, во-первых, для
каждого решения уравнения (0.1) найдется такое t > 0, что x(t) < γ. Во-
вторых, если для некоторого t
0
выполнено условие x(t
0
) < γ при всех t > t
0
,
то x(t) → 0 при t → ∞. Поэтому имеет смысл ограничиться ниже рассмот-
рением лишь таких решений x(t), начальные функции φ(s) (s ∈ [−T, 0])
которых непрерывны в нуле и φ(0) = γ. Поскольку здесь изучаются только
медленно осциллирующие решения, для φ(s) считается выполненным усло-
вие: уравнение φ(s) = γ не имеет корней на полуинтервале [−T, 0). Еще
одно упрощение связано с тем, что, как уже отмечалось, решение урав-
нения (0.1) в случае (3.1) состоит из „кусков“ убывающих функций вида
c exp(−t) (c > 0), а следовательно, начальные функции φ(s) тоже доста-
точно брать из этого же класса функций. Отсюда и из отмеченных выше
свойств φ(s) следует, что
˙
φ(−0) = −γ.
Исследуем при t > 0 решения x(t) с указанными начальными функ-
циями φ(s). При t ∈ [0, T ] имеем равенства x(t) = γ exp(−t) и
x(T + 0) = γ exp(−T ) + α. При условии (3.5) тогда получаем, что
x(t) = x(T + 0) exp[−(t − T )] при t > T , т.е. x(t) → 0 при t → ∞.
Пусть выполнено условие (3.4). Положим
t
0
= ln[exp(−T ) + αγ
−1
].
При t ∈ [T, T + t
0
] для функции x(t) имеет место формула
x(t) = [γ exp(−T ) + α] exp[−(t − T )].
Важно заметить, что на отрезке [t
0
, T + t
0
] заданная этой формулой функ-
ция x(t) обладает всеми указанными свойствами рассматриваемых началь-
ных функций φ(s). Тем самым при t > T + t
0
ситуация повторяется. Это
означает, что при t > 0 все рассматриваемые решения сливаются в од-
но. Это решение x(t) (при t > T + t
0
) является медленно осциллирующим
периодическим решением с периодом T + t
0
.

Страницы