Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

112 Часть II. Нелокальный анализ
и x(τ + t
0
(τ), τ) = γ. При условии τ + t
0
(τ) > T решение x(t, τ) либо сов-
падает при t > 2T с медленно осциллирующим периодическим решением
x(t), либо будет выполнено условие x(t, τ) → 0 при t → ∞. Ниже считаем,
что τ + t
0
(τ) < T , т.е.
τ + ln[α + exp(−τ)] < T. (3.10)
Объединяя условия (3.8)–(3.10), получаем итоговые неравенства
max(1 − exp(−τ), 1 − exp(τ − T )) < αγ
−1
< exp(T − τ) − 1. (3.11)
Введем в рассмотрение оператор последования Π:
Π(φ(s)) = x(τ + t
0
(τ) + s, τ) (s ∈ [−T, 0]).
При условиях (3.11) верны включения
Π(φ(s)) ∈ S(¯τ), ΠS(τ) ⊂ S(¯τ),
где
¯τ = T − τ − ln[αγ
−1
+ exp(−τ)]. (3.12)
Поведение решений x(t, τ) при t → ∞ определяется итерациями оператора
Π (при условиях типа (3.11)), а значит – динамикой одномерного отобра-
жения (3.12). Это отображение имеет простую динамику. Все его итерации
сходятся к единственной устойчивой неподвижной точке
τ
0
= ln[(2αγ
−1
)
−1
(−1 + (1 + 4αγ
−1
exp T )
1/2
)].
Неравенства (3.11) для τ = τ
0
имеют вид:
1 − exp(−T/2) < αγ
−1
< exp(T ) − 1. (3.13)
Сформулируем итоговый результат.
Теорема 3.2 Пусть выполнены условия (3.13). Тогда уравнение (0.1)
с нелинейной функцией (3.1) имеет L−устойчивое K−периодическое
решение x(t, τ
0
) с двумя всплесками на промежутке длины T и
K = τ
0
+ ln[αγ
−1
+ exp(−τ
0
)].
Сделаем одно замечание. Из теорем 3.1 и 3.2 следует, что при условии
1 − exp(−T ) < αγ
−1
< exp(T ) − 1

Страницы