Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Динамика уравнения с нелинейностью импульсного... 113
одновременно существуют два устойчивых периодических решения x
0
(t) и
x(t, τ
0
).
Использованная в этом пункте схема исследования решений с дву-
мя всплесками на отрезке длины T допускает распространение на
случаи, когда решение имеют m > 2 всплесков на отрезке дли-
ны T . Коротко остановимся на этом вопросе. Фиксируем значения
τ
j
: T > τ
1
> τ
2
> . . . > τ
m
> 0 = τ
m+1
. Множество начальных функ-
ций S(τ) (τ = (τ
1
, . . . , τ
m
)) естественно определить как совокупность та-
ких кусочно-непрерывных функций φ(s) (s ∈ [−T, 0]), которые, во-первых,
состоят из кусков функций c exp(−s); во-вторых, слева и справа каждой
точки s
0
разрыва φ(s) выполнено условие φ(s
0
+ 0) −φ(s
0
−0) = αγ
−1
и, в
третьих, в окрестностях −τ
j
функция φ(s) непрерывно дифференцируема,
φ(−τ
j
) = γ и φ(s) 6= γ при s 6= −τ
j
(j = 1, . . . , m + 1). Решение уравнения
(0.1) с начальным условием φ(s) ∈ S(τ ) обозначим через x(t, τ).
На промежутке [0, T − τ
1
) имеем равенства:
x(t, τ) = γ exp(−t) и x(T − τ
1
+ 0, τ ) = γ exp[−(T − τ
1
)] + α.
Как и выше, следует предположить, что
γ exp[−(T − τ
1
)] + α > γ. (3.14)
Положим t
0
(τ
1
) = ln[αγ
−1
+ exp[−(T − τ
1
)]]. Тогда при условии
τ
1
− τ
2
> t
0
(τ
1
) (3.15)
на отрезке (T − τ
1
, T − τ
1
+ t
0
(τ
1
)] для x(t, τ) имеет место формула
x(t, τ) = [γ exp[−(T − τ
1
)] + α] exp[−(t − (T − τ
1
))],
причем x(T − τ
1
+ t
0
(τ
1
), τ) = γ. Рассмотрим оператор последования Π:
Π(φ(s)) = x(T − τ
1
+ t
0
(τ
1
) + s, τ).
Тогда Π(φ(s)) ∈ S(¯τ) и ΠS(τ) ⊂ S(¯τ), где ¯τ = (¯τ
1
, . . . , ¯τ
m
) и
¯τ
1
= τ
2
+ T − τ
1
+ t
0
(τ
1
),
¯τ
2
= τ
3
+ T − τ
1
+ t
0
(τ
1
),
. . .
¯τ
m−1
= τ
m
+ T − τ
1
+ t
0
(τ
1
),
¯τ
m
= T −τ
1
+ t
0
(τ
1
).
(3.16)

Страницы