Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Динамика уравнения с нелинейностью импульсного... 111
Сравним полученный результат с результатами предыдущего раздела
(для уравнения (0.1) с нелинейностью, заданной формулой (0.4)). Предпо-
ложим, что T достаточно велико, тогда условие (3.4) существования МО
цикла (с одним всплеском на некотором отрезке длины периода) имеет вид
α > γ. (3.6)
В случае (0.4) множество параметров на плоскости (a, b), для которых су-
ществует устойчивое периодическое решение с одним всплеском на неко-
тором отрезке длины периода описывается системой (2.22). Легко видеть,
что в случае функции (3.1) область (в пространстве параметров α и γ) су-
ществования устойчивых периодических решений значительно шире, чем
в случае (0.4).
3.3. О быстро осциллирующих решениях. Сначала остановимся на изуче-
нии решений с двумя всплесками на некоторых отрезках длины T . Каждый
всплеск решений, а величина его постоянна и равна α, происходит ровно
через отрезок времени T после пересечения этим решением прямой x ≡ γ.
На основании этого опишем класс начальных функций φ(s), которые мо-
гут задавать решения указанного типа. Фиксируем произвольно τ ∈ (0, T )
и рассмотрим множество S(τ) начальных функций φ(s), обладающих сле-
дующими свойствами. Во-первых, φ(−T + τ) = φ(0) = γ и φ(s) 6= γ при
s 6= −T + τ, 0. Во-вторых, поскольку φ(s) состоит из кусков функций вида
c exp(−t), то φ(s) = γ exp(−s) при s ∈ (−ν, 0), где
ν = ln(αγ
−1
) −ln(1 − exp[−(T − τ)]). (3.7)
По смыслу величины ν необходимо выполнение условий 0 < ν < T − τ.
Учитывая формулу (3.7), эти неравенства можно записать в виде
1 − exp(τ −T ) < αγ
−1
< exp(T − τ) − 1. (3.8)
В третьих, при s ∈ [−T +τ, −ν) выполнено равенство φ(s) = γ exp[τ −T −s].
Решения уравнения (0.1) с начальным условием φ(s) ∈ S(τ) обозна-
чим через x(t, τ). При t ∈ [0, τ) получаем равенства x(t, τ ) = γ exp(−t) и
x(τ + 0, τ ) = γ exp(−τ ) + α. При условии γ exp(−τ) + α < γ приходим к
выводу, что x(t, τ) → 0 при t → ∞. Ниже считаем, что
γ exp(−τ) + α > γ. (3.9)
Положим t
0
(τ) = ln[αγ
−1
+ exp(−τ)]. Тогда при t ∈ (τ, t
0
(τ) + τ] верна
формула
x(t, τ) = [γ exp(−τ) + α] exp[−(t − T )]

Страницы