Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Динамика уравнения с нелинейностью импульсного... 109
на результатах работы [38]. В этой связи отметим еще работы [28, 29], по-
священные исследованию решений систем уравнений при внешнем воздей-
ствии в виде импульсов.
Прежде чем перейти к описанию основных результатов, сделаем заме-
чание об определении понятия решения (0.1) и понятия устойчивости.
Решением при t ∈ [0, ∞] уравнения (0.1) с кусочно-непрерывной и
кусочно-непрерывно дифференцируемой начальной функцией φ(s), задан-
ной на отрезке [-T, 0] и удовлетворяющей условию φ(−T ) 6= γ, естественно
назвать функцию x(t), определяемую из интегрального уравнения
x(t) = φ(0) exp(−t) +
t
Z
0
f(x(s − T )) exp[−(t − s)]ds. (3.2)
Заметим, что для каждого из рассматриваемых решений x(t) уравнения
(0.1) определены величины x(t − 0), x(t + 0) и ˙x(t − 0), ˙x(t + 0). Поэтому
ниже для решений x(t) и y(t) полагаем по определению
|x(t) − y(t)| = max(|x(t − 0) − y(t − 0)|, |x(t + 0) − y(t + 0)|),
|˙x(t) − ˙y(t)| = max(|˙x(t − 0) − ˙y(t − 0)|, |˙x(t + 0) − ˙y(t + 0)|).
Решение x
0
(t) будем называть L−устойчивым, если для любого ε > 0
найдется такое δ > 0, что из условия
0
R
−T
[|x
0
(s)−x(s)|+|˙x
0
(s)− ˙x(s)|]ds < δ
следует неравенство
0
R
−T
[|x
0
(t + s) − x(t + s)| + |˙x
0
(t + s) − ˙x(t + s)|]ds < ε
для каждого t > 0.
Исследование начнем с наиболее простых по структуре решений.
3.2. Медленно осциллирующее решение. Сначала условимся, что корнем
уравнения
x(t) = γ (3.3)
будем называть такое значение t
0
, для которого либо x(t
0
− 0) = γ, либо
x(t
0
+ 0) = γ. Медленно осциллирующим (МО) решением естественно на-
зывать такое определенное при t > 0 решение уравнения (0.1), у которого
бесконечно много корней уравнения (3.3) и расстояние между соседними
корнями этого уравнения больше времени запаздывания T . Сформулируем
основной результат этого пункта.

Страницы