Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Числовые характеристики аттракторов уравнения... 115
Изучение последнего представляет особый интерес. В пунктах 4.2–4.4
приведены результаты расчета основных числовых характеристик решений
уравнения (0.1), а также прослежена их зависимость от времени запазды-
вания. В пункте 4.5 получены асимптотические при ε → 0 оценки старшего
ляпуновского показателя.
Числовая характеристика, исследуемая в первом пункте этого раздела,
весьма специфична и, как оказалось, информативна именно для рассматри-
ваемой ступенчатой нелинейности. Возможно, она представляет наиболь-
ший интерес для анализа колебательных свойств решений уравнения (0.1).
4.2. Распределение точек пересечения решением прямых x = a и
x = b. Фиксируем произвольно неотрицательную начальную функцию
ϕ(s) ∈ C
[−1,0]
и рассмотрим при t > 0 такое решение x(t) уравнения (2.5) с
нелинейностью (0.4), что x(s) = ϕ(s) при s ∈ [−1, 0]. В том случае, когда
количество положительных корней уравнения
x(t) = a (4.1)
при t > 1 конечно, функция x(t) стремится к нулю при t → ∞. Этот случай
интереса не представляет. Поэтому будем изучать лишь те решения (2.5),
у которых количество корней при t > 1 уравнения (4.1) не ограничено. В
силу автономности уравнения (2.5) удобно считать, что для таких решений
ϕ(0) = x(0) = a. Относительно начальной функции ϕ(s) нужно знать
лишь то, на каких участках значения ее лежат в промежутке от a до b.
Тем самым вся необходимая для построения решения x(t) информация о
ϕ(s) заключена в корнях уравнений ϕ(s) = a и ϕ(s) = b (s ∈ [−1, 0]).
Это обстоятельство позволяет ввести важную числовую характеристику
S = S(T, a, b) (T = ε
−1
). Для ее определения рассмотрим занумерованные
в порядке возрастания корни уравнения (4.1) и уравнения
x(t) = b, (4.2)
начиная от корня t
0
уравнения (4.1): t
0
< t
1
< t
2
< . . .. Ко-
личество этих корней на каждом из отрезков ∆
k
= [t
k
− 1, t
k
],
(k = k
0
, k
0
+1, k
0
+2, . . . ; t
k
0
−1 > 0) длины 1 обозначим через S
k
. Отметим,
что совокупность таких корней на любом из отрезков ∆
k
дает полную ин-
формацию о поведении решения x(t) при t > t
k
. В связи с этим естественно
в качестве числовой характеристики x(t) принять значение
S = lim
n→∞
max
k≥n
S
k
. (4.3)

Страницы