Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

116 Часть II. Нелокальный анализ
Кроме этого, введем еще два числа S
min
и S
med
, близкие по смыслу к S:
S
min
= lim
n→∞
min
k≥n
S
k
, S
med
= lim
n→∞
n
t
n
. (4.4)
Отметим, что
S
min
≤ S
med
≤ S.
Покажем сначала, что S (если она конечна) можно интерпретировать
как размерность вложения. Для этого фиксируем отрезок ∆
k
, и пусть
t
k−j
(j = 0, 1, . . . , p
k
) – все корни уравнений (4.1) и (4.2), лежащие на про-
межутке ∆
k
. Через δ
k
= (δ
k1
, . . . , δ
kp
k
) обозначим p
k
-мерный вектор, коор-
динаты которого определяются формулой δ
kj
= t
k−j+1
− t
k−j
. Тем самым
задание p
k
-мерного вектора δ
k
(δ
kj
∈ [0, 1],
P
1
k=−p
k
δ
kj
< 1) однозначно
определяют решение x(t) при t > t
k
, а значит, и саму последовательность
t
n
(n = k + 1, k + 2, . . .). Все числа p
k
при достаточно больших номерах
k мажорируются числом S. Тем самым любой набор δ
k
= (δ
k1
, . . . , δ
kS
) из
S чисел δ
kj
определяет структуру решения x(t). Можно показать, что для
некоторой вектор-функции Φ(δ)
δ
k+1
= Φ(δ
k
). (4.5)
Выше было показано, что уравнение (2.5) может иметь аттракторы раз-
личной структуры. Характеристику S можно еще интерпретировать как
меру структурной сложности решений. Чем больше S, тем более сложный
вид имеет соответствующее решение.
Из результатов второго раздела следует, что при малых ε уравнение
(2.5) может иметь большое число аттракторов (явление мультистабильно-
сти). Важно, однако, отметить, что из результатов численного анализа вы-
текает, что область притяжения того аттрактора выше, у которого больше
значение S. Графики зависимости величин S
min
и S от времени запазды-
вания T при a = 0.3, b = 0.48 приведены на рис. 17 для произвольной
начальной функции. Стандартные численные методы позволили сделать
вывод о том, что эти зависимости (при достаточно больших T ) являются
линейными). На рис. 18 представлены графики зависимости S
min
и S от
времени запаздывания T при специальным образом выбранных (см. пунк-
ты 2.4–2.5) начальных условиях:
сплошная линия – начальная функция равна b − a на отрезке длины
10
−5
T , а в остальных точках полуинтервала [−T, 0) равна нулю (верх-
ний график соответствует S, а нижний S
min
);

Страницы