Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

90 Часть II. Нелокальный анализ
Итак, введем в рассмотрение множество C начальных функций φ(s).
Удобно начальный момент времени фиксировать так, чтобы x
b
(0, T ) = b и
˙x
b
(0, T ) < 0, следовательно, φ(0) = b. Тогда из условия медленной осцил-
ляции следует неравенство φ(s) > b при s ∈ [−T, 0]. Важно, что решение
x
b
(t, T ) с начальным условием φ(s) ∈ C не зависит от выбора конкретного
элемента множества C.
На интервале времени (0, T ) имеем равенство x
b
(t, T ) = b exp(−t). На
некотором отрезке, примыкающем справа к точке t = T , справедливо со-
отношение
x
b
(t, T ) = x
b
(T, T ) exp (−(t − T )) + 1 − exp (−(t −T)) . (1.3)
Пусть t
1
и t
2
, соответственно, первый и второй положительные корни урав-
нения x
b
(t, T ) = b. Тогда из (1.3) получаем, что
t
1
= T + ln
1 − b exp(−T )
1 − b
. (1.4)
Формула (1.3) остается в силе при t ∈ (T, t
1
+ T ]. На отрезке [t
1
+ T, t
2
]
имеем равенство
x
b
(t, T ) = x
b
(t
1
+ T, T ) exp −(t − (t
1
+ T )),
а для t
2
верна формула
t
2
= t
1
+ T + ln
x
b
(t
1
+ T, T )
b
. (1.5)
Важный вывод заключается в том, что функция x
b
(t
2
+ s, T ) принадле-
жит множеству C при s ∈ [−T, 0]. Следовательно, оператор Пуанкаре
Π(φ(s)) = x
b
(t
2
+ s, T ) имеет неподвижную точку, которой отвечает пе-
риодическое решение x
b
(t, T ).
В итоге получаем следующий результат:
Теорема 1.1 Уравнение (1.2) имеет экспоненциально орбитально
устойчивое t
2
-периодическое решение x
b
(t, T ). Его период определяется
формулами (1.4), (1.5).
На рис. 5(а) изображен график решения x
b
(t, T ) при T = 1 и b = 0.3.
Приведем асимптотические формулы для периодического решения.
Сначала рассмотрим случай
0 < b ¿ 1. (1.6)

Страницы