ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
83
Re ( ) ( )sf
j
fd
C
∞=
⋅
→
∫
1
2π
ζζ
,
где интегрирование проводится по часовой стрелке и соответствует области
вне контура C. Следует отметить, что
Re ( ) lim [ (sf zf z)]
z
∞
=
−
→∞
.
Если z=a≠∞ есть полюс порядка r, то вычет
[]
Re ( )
()!
lim ( ) (sf a
r
d
dz
za fz)
za
r
r
r
=
−
−
→
−
−
1
1
1
1
. (3.10)
В частности, если z=a≠∞ - простой полюс (r=1) и f(z)=M(z)/ N(z), где M(z) и
N(z) - аналитические функции в точке z=a , причем M(a)≠0, N(a)=0 и N′(a)≠0,
то вычет
Re ( )
()
()
sf a
Ma
Na
=
′
. (3.11)
Вычислить интеграл по замкнутому контуру, охватывающему особые
точки z
1
, z
2
,...,z
n
, позволяет теорема о вычетах
1
2
1
π
ζζ
⋅
=
=
∑
∫
←
j
fd sfz
k
k
n
C
() Re ( )
или в другой форме
fd j sfz
k
k
n
C
() Re ( )ζζ π=⋅⋅
=
∑
∫
←
2
1
. (3.12)
Теорема вычетов позволяет также находить некоторые определенные
интегралы от функций действительной переменной t вида:
ftdt ft mtdt ft mtdt();()cos();()sin()
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫∫ ∫
, где m≥0.
Для их вычисления следует применить формулу (3.12) к контуру, состоящему
из интервала (-R,R) действительной оси и дуги C
R
окружности | z |=R в верх-
ней полуплоскости. При R→∞, согласно леммы Жордана, можно отбросить
интегралы по дуге C
R
.
Например, если при замене действительной переменной t на комплекс-
ную переменную z функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости с уче-
том действительной оси, за исключением конечного числа особых точек z
k
,
лежащих сверху от действительной оси, и уравнение f(1/ z)=0 имеет нулевые
корни кратности m≥2, то
1
2
1
π
ftdt j sfz
k
k
n
() Re ( )=⋅
=
−∞
∞
∑
∫
. (3.13)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
