ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
() () ( )
[]
110
1
0
1
0
...)()()(
−
−
=
−
=
+++
−
=Δ=Δξ≈
∑∑
∫
n
n
i
i
n
i
i
b
a
xfxfxf
n
ab
xfxxfdxxf .
Окончательно получаем приближенную формулу
() () ( )
[]
110
...)(
−
+++
−
≈
∫
n
b
a
xfxfxf
n
ab
dxxf
, (4.3)
называемую
первой формулой прямоугольников.
Если же в точке
[
]
1
,
+
∈
ξ
iii
xx присвоить значение
1+
=
ξ
ii
x , т.е. правую
точку отрезка, то из формулы (4.2) получаем
() () ()
[]
n
n
i
i
n
i
i
b
a
xfxfxf
n
ab
xfxxxfdxxf +++
−
=Δ=Δ≈
∑∑
∫
==
...)()()(
21
11
,
или окончательно
() () ()
[]
n
b
a
xfxfxf
n
ab
dxxf +++
−
≈
∫
...)(
21
. (4.4)
Эта формула называется
второй формулой прямоугольников.
Формулы (4.3), (4.4) допускают простое геометрическое истолкование
для
0)( ≥xf . Известно, что интеграл (4.1) представляет собой площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
)(xfy
=
, осью Ох и
прямыми
х = а, х = b. Формулы же (4.3) и (4.4) задают площади ступенчатых
фигур, изображенных на рис. 4.1 и 4.2 соответственно.
Р и с. 4.1 Р и с. 4.2
Очевидно, что с увеличением n (уменьшением Δх) приближенные
значения интегралов (4.3), (4.4) стремятся к точному значению.
называют при этом
узлами интерполирования. Получающийся полином степени
n вида
() ( )
∑
∏
=
≠
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
n
i
ij
ji
j
in
xx
xx
xfxL
0
, (2.13)
приближенно описывающий функцию
(
)
xf на интервале
()
n
xx ,
0
и
совпадающий с
(
)
xf в узлах интерполяции, называется интерполяционным
многочленом Лагранжа.
Если известен аналитический вид функции
(
)
xf , то можно найти
()
xR
n
– погрешность отклонения многочлена
(
)
xL
n
от
(
)
xf :
() () ()
()
(
)
()
()
x
n
xf
xLxfxR
n
n
nn 1
1
!1
~
+
+
ω
+
≤−= , (2.14)
где
[
]
n
xxx ,
~
0
∈ обеспечивает максимальное (по модулю) значение
()
()
xf
n 1+
на
отрезке
[
]
n
xx ,
0
, а
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
xxxxxxx
−
−
−
=
ω
+
...
101
. При этом предполагается, что
на отрезке
[
]
n
xx ,
0
существуют производные
(
)
xf до
(
)
1
+
n -ого порядка
включительно.
♦Пример 2.4. Вычислить значение функции
(
)
xxf = при 115* == xx ,
используя интерполяционный многочлен Лагранжа при
n = 3. Оценить
погрешность вычисления.
Решение. Точное значение
(
)
xf известно при следующих трех
ближайших к
*
x
значениях
x
: 100
0
=
x , 121
1
=
x , 144
2
=
x . Находим
соответствующие им значения
(
)
i
xf :
(
)
10
0
=
xf ,
(
)
11
1
=
xf ,
()
12
2
=xf .
Подставляя эти значения в формулу (2.13), найдем интерполяционный
многочлен
(
)
xL
2
() ( )
(
)
(
)
()()
()
(
)
(
)
()()
()
()()
()()
()
.43560727
232221
1
2
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
02
++−
⋅⋅
=
−−
−−
⋅+
+
−−
−−
⋅+
−−
−−
⋅=
xx
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xfxL
Найдем
(
)
*
2
xL
(
)
...7227,10115
2
=
L
Оценим погрешность вычисления
()
5
5
2
5
10
8
3
100
1
8
3
8
3
maxmax
−
−
⋅=⋅==
′′′
xxf .
По формуле (2.14) найдем погрешность
(
)
*
2
xR
a=
x
x
1
x
2
x
n-1
b=x
n
x
a=x
0
y
y
=
f
(
x
)
0
a=
x
x
1
x
2
x
n
-
1
b=x
n
x
a=x
0
y
y
=
f
(
x
)
0
24 13
