ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
() ()()()
35
2
106,1144115121115100115
!3
1
10
8
3
*
−−
⋅≈−−−⋅⋅⋅≤xR .
Вычисление на калькуляторе дает:
7238,10115 = …, что отличается от
()
115
2
L в третьем знаке после запятой.
Таким образом, вычисленная погрешность отражает реальную ошибку
расчета.
v
Если все узлы интерполяции располагаются друг от друга на
одинаковом расстоянии
h , то удобнее пользоваться одним из следующих двух
выражений для интерполирующего многочлена:
() ()
()( )
,1...1
!
1
...1
!2
1
0000
0
2
00000
ynqqq
n
yqqyqyxP
n
n
Δ+−−+
++Δ−+Δ+=
(2.15)
где
()
hxxq /
00
−= , а величины
(
)
nky
k
,1
0
=Δ , называемые конечными
разностями
k -ого порядка, определяются из рекуррентных формул
()
(
)()()
;
0101000
yyxyxyxyhxyy
−
=−=
−
+
=Δ
()
(
)
(
)
(
)
(
)
()()()
;2
012011201
11010100
2
yyyyyyyyy
xyhxyyyyyyy
+−=−−−=−−
−−+=Δ−Δ=−Δ=ΔΔ=Δ
................................................
(
)
(
)
;
0
1
0
yy
nn −
ΔΔ=Δ
() ()
()( )
,1...1
!
1
...1
!2
1
0
2
2
1
ynqqq
n
yqqyqyxP
n
nnn
nnnnnnn
Δ−+++
++Δ++Δ+=
−−
(2.16)
где
()
hxxq
nn
/−= , а конечные разности
kn
k
y
−
Δ
(
)
nk ,1= определяются из
рекуррентных формул
;
11 −−
−
=Δ
nnn
yyy
(
)( )
()( )
;2
21211
212122
2
−−−−−
−−−−−−
+−=−−−=
=Δ−Δ=−Δ=ΔΔ=Δ
nnnnnnn
nnnnnn
yyyyyyy
yyyyyy
.......................................
(
)
(
)
n
k
n
k
yy
1−
ΔΔ=Δ .
Формулы (2.15) и (2.16) называются соответственно
первой и второй
интерполяционными функциями
(многочленами) Ньютона.
Конечные разности удобно вычислять, пользуясь следующей таблицей,
называемой
диагональной таблицей конечных разностей (табл. 2.1).
61.
2
)1/(1 yx −−
2 3 2
62.
yxy
−
−
/)1(
2 3 1
63.
22
/1 xy +− 1 2 1
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
4.1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4.1.1. Постановка задачи
Формула Ньютона-Лейбница
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=
∫
(4.1)
позволяет вычислить определенный интеграл, если удается найти первообразную
подынтегральной функции
)(xF . Это возможно далеко не во всех случаях.
Например, если подынтегральная функция не допускает непосредственного
интегрирования, задана не аналитически, а таблично или в виде ряда. В этих
случаях применяется приближенное численное интегрирование.
В определении определенного интеграла, как пределе интегральной
суммы, уже заложена основная идея численного интегрирования:
∑
∫
−
=
→Δ
Δξ=
1
0
0
)(lim)(
n
i
i
x
b
a
xfdxxf ,
где
[
]
1
,
+
∈ξ
iii
xx . Откуда
∑
∫
−
=
Δξ≈
1
0
)()(
n
i
i
b
a
xfdxxf . (4.2)
4.1.2. Формулы прямоугольников
Формула прямоугольников основана на замене подынтегральной
функции
f (x) кусочно-постоянной функцией. Разобьем отрезок [a, b] на n
частей равной длины
nabx /)(
−
=
Δ
, xxx
ii
Δ
+
=
+1
( ni ,0= ), ,
0
ax = bx
n
= .
Выберем на отрезке
[
]
1
,
+ii
xx точку
ii
x
=
ξ
, т.е. левую точку отрезка. Тогда из
формулы (4.2) имеем
14
23
