ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
если выполняются условия следующей теоремы.
Теорема 2. Если функция )(xfy
=
[]
baC ,
2
∈ имеет на концах отрезка
[
]
ba,
значения разных знаков, т.е.
()
af
()
bf < 0, а производные
(
)
xf
′
и
(
)
xf
′
′
сохраняют знаки на отрезке
[]
ba, , то исходя из начального приближения
[]
bax ,
0
∈ , удовлетворяющего условию
() ()
0
00
>
′′
⋅ xfxf , (2.11)
можно построить последовательность (2.10), сходящуюся к единственному на
[]
ba, решению ξ уравнения 0)( =xf .p
♦Пример 2.3. Найти корни уравнения (2.9)
01
3
=−+ xx
методом Ньютона с точностью ε = 0,01.
Решение.
[]
1,0∈ξ , 13)(
2
+=
′
xxf ,
(
]
1,006)(
∈
∀
>
=
′′
xxxf
, 1)0(
−
=
f ,
1)1( =f . В качестве начального приближения выбираем точку 1
0
=
x , для
которой выполняются условия теоремы 2. Тогда можно воспользоваться
формулой (2.10). Имеем
(
)
()
()
,...2,1,0
13
12
13
1
2
3
2
3
1
=
+
+
=
+
−+
−=
′
−=
+
n
x
x
x
xx
x
xf
xf
xx
n
n
n
nn
n
n
n
nn
(2.12)
и
68236,0;68604,0;75,0
113
112
13
12
32
3
3
2
0
3
0
1
≈≈=
+⋅
+⋅
=
+
+
= xx
x
x
x
,
01,000368,0
23
=ε<=− xx .
Таким образом, значение корня приближенно равно
68,0
. Нахождение
корня по методу Ньютона потребовало три итерации, а по методу хорд –
шесть.
v
2.3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА
Пусть даны
1
+
n значений аргумента
(
)
nn
xxxxxx
<
<
<
...,...,,
1010
и
для функции
(
)
xfy = точно известны лишь соответствующие значения
(
)()
(
)
nn
yxfyxfyxf
=
=
=
,...,,
1100
.
Если требуется найти значение функции
(
)
xf
(
)
n
xxx ,
0
∈
∀
, то о задаче
нахождения
()
xf на интервале
()
n
xx ,
0
говорят как о задаче интерполирования
функции
()
xf . Точки
(
)
00
, yx ,
(
)
11
, yx , …,
()
nn
yx ,
4.1.3. Формула трапеций
Эта формула аналогична формулам прямоугольников, но функция
)(xfy = заменяется на каждом отрезке
[
]
1
,
+ii
xx длиной Δх отрезком прямой
(рис. 4.3). Очевидно, что площадь заштрихованной фигуры равна сумме площа-
дей трапеций, причем на отрезке
[
]
1
,
+ii
xx имеем
x
yy
S
ii
i
Δ
+
=Δ
+
2
1
,
где )(
ii
xfy = .
Р и с. 4.3
Заменяя далее приближенно площадь криволинейной трапеции под
графиком
)(xfy
=
площадью заштрихованной фигуры, получим
∑∑
∫
∑
−
=
+
−
=
+
−
=
=
+
Δ=Δ
+
=Δ≈
1
0
1
1
0
1
1
0
22
)(
n
i
ii
n
i
ii
b
a
n
i
i
yy
xx
yy
Sdxxf
.
2
...
22
1
21
10
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++
+
+
+
−
=
− nn
yy
yy
yy
n
ab
Окончательно формула трапеций принимает вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++++
+
−
≈
−
∫
121
0
...
2
)(
n
n
b
a
yyy
yy
n
ab
dxxf
.
4.1.4. Формула Симпсона (формула парабол)
Эта формула предложена английским математиком Симпсоном и ос-
нована на замене подынтегральной функции
)(xf на отрезке
[
]
ba, дугой
0
y
x
a=x
0
x
1
x
2
x
n
-1
b=x
n
y = f(x)
12 25
