Вычислительная математика. Кайдалова Л.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СамГУПС | Самара

Составители: 

Рубрика: 

параболы, т.е. функция )(xf аппроксимируется параболой вида
γ+β+α= xxxP
2
)( .
При этом выполняются условия
)()(),()(),()( cPcfbPbfaPaf
=
=
=
, (4.5)
где
2/)( bac += (рис. 4.4).
Р и с. 4.4
Можно доказать (см. [3, 4]) справедливость следующего равенства:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
∫
)(
2
4)(
6
)( bP
ba
PaP
ab
dxxP
b
a
. (4.6)
С учетом равенства (4.6) и условий (4.5) имеем приближенное равенство
.)(
2
4)(
6
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
≈
∫
bf
ba
faf
ab
dxxf
b
a
Эта формула называется
элементарной формулой Симпсона.
Разобьем отрезок
[
]
ba, на четное число равных отрезков mn 2
=
, при
этом
nn
xxxxx ,...,,,,
2420 −
– точки деления ( bxax
n
=
=
,
0
). Обозначим через
...,,,
531
xxx середины отрезков
[]
20
, xx ,
[]
42
, xx ,
[
]
64
, xx и т.д. Применив для
каждого отрезка разбиения элементарную формулу Симпсона, получим
формулу парабол (формулу Симпсона) [3, 4]
()( )
[]
....2...4
6
)(
2421310 −−
+++++++++
−
≈
∫
nnn
b
a
yyyyyyyy
m
ab
dxxf
Р и с. 2.3
Таким образом, на отрезке
[
]
1,0 функция
(
)
xf удовлетворяет условиям
теоремы 1 и на этом отрезке имеет единственный корень. Рассмотрим интервалы
()
0;∞− и
(
)
∞
;1 :
(
)
(
)
(
)
(
)
∞
∈
∀
>
∞
−
∈
∀
<
;10;0;0 xxfxxf ,
т.е. на этих интервалах функция
(
)
xf не меняет знак, следовательно, корней на
них нет.
Найдем корень на отрезке
[
]
1,0 . Так как 06)( >
=
′
′
xxf
()
1,0∈
∀
x , то в
качестве неподвижной точки выбираем правый конец отрезка
[
]
1,0 , т.е. 1=b .
Полагая
0
=
a , из формулы (2.8) получим
()
() ()
()
;
0
0
0
001
ax
bfxf
bx
xfxx =
−
−
⋅−=
5,0
)1()0(
1
)0(
1
=
−
−
⋅−=
ff
fx
.
Далее
682175,0;681691,0;679661,0;671195,0;636363,0
65432
≈
≈
≈
≈
≈ xxxxx ;
01,000048,0
56
=ε<=− xx .
Таким образом, ξ ≈ 68,0. Для проверки результатов расчетов вычислим
()
68,0f :
(
)
0055,068,0
−
≈
f , т.е. корень найден верно v.
Рассмотрим теперь нахождение корня уравнения (2.3)
методом
Ньютона (методом касательных). Пусть на отрезке
[
]
ba, имеется
единственный корень. Тогда нахождение этого корня осуществляется по
рекуррентной формуле [5, 6]
(
)
()
()
,...2,1,0,
1
=
′
−=
+
n
xf
xf
xx
n
n
nn
(2.10)
x
0
y
a b
y = f(x)
c
y
=
P
(x)
x
0
y
y = x
3
1
2
–1–2
1
2
3
y
= 1 – х
–1
26
11

Страницы