Вычислительная математика. Кайдалова Л.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СамГУПС | Самара

Составители: 

Рубрика: 

имеющей угловой коэффициент
()
000
, yxfy =
′
. На рис. 4.5 через
0
y
Δ
обозна-
чена ошибка в вычислении функции
()
11
xyy = при замене интегральной кри-
вой (I) отрезком касательной (II), проведенной в точке
(
)
00
, yx .
В целом геометрический смысл метода Эйлера иллюстрируется рис.
4.6. Здесь интегральная кривая (I) заменяется ломаной (II), звенья которой
имеют постоянную проекцию на ось
Ох. Первое звено касается истинной ин-
тегральной кривой (точного решения) в точке
()
00
, yx .
Р и с. 4.5
Р и с. 4.6
4.2.2. Метод Рунге-Кутта
Точность метода Эйлера невелика и пропорциональна величине шага
h. Для
повышения точности решения дифференциальных уравнений разработана
целая группа методов, обобщенных названием метод Рунге-Кутта. Рассмотрим
классический метод Рунге-Кутта решения задачи Коши для дифференциаль-
ного уравнения (4.7) с начальным условием (4.8).
Отрезок, содержащий корень можно найти графически. Для этого уравнение
()
0=xf переписывается в виде
(
)
(
)
xx
ψ
=
ϕ
,
где
()
x
ϕ
и
(
)
x
ψ
более простые функции, чем
(
)
xf . Построив графики функций
()
xy
ϕ
=
1
и
(
)
xy
ψ
=
2
, находим отрезок, содержащий значение ξ (абсциссу точки
пересечения этих графиков), если корень существует.
а) в методе хорд рассмотрим один из таких отрезков
[
]
ba, , на концах
которого функция
(
)
xf имеет разные знаки (рис. 2.2).
Р и с. 2.2
Значение корня
ξ
находится внутри отрезка
[
]
ba, . На первом этапе через
точки
А(а, )(af ) и В( )(, bfb ) проводим хорду
A
B , уравнение которой
записывается в виде
(
)
() ()
afbf
bfy
ab
ax
−
−
=
−
−
. (2.4)
Найдем точку
1
x пересечения хорды
A
B с осью абсцисс. Для этого положим в
(2.4)
0=y
, тогда
()
() ()
afbf
ab
bfbx
−
−
⋅−=
1
. (2.5)
За первое приближение корня уравнения (2.3) примем точку
1
x . Далее
выберем тот из отрезков
[
]
1
, xa ,
]
bx ,
1
, на концах которого функция )(xf
принимает значения разных знаков. В рассматриваемом случае (см. рис. 2.2) это
будет отрезок
[
]
1
, xa , который принимаем за новый отрезок. Используя для этого
отрезка формулу (2.5), получим
x
0
x
0
y
0
y
1
y
x
1
I
Δ
y
0
II
x
0
x
0
y
0
y
1
y
x
1
II
Δ
y
0
I
x
x
0
x
1
x
2
x
3
0
y
0
y
I
II
x
y
0
a
A
ξ
x
2
x
1
B
1
B
b
B
2
28 9

Страницы