Вычислительная математика. Кайдалова Л.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СамГУПС | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Находим
()
*yA по формуле (2.1), т.е. беря максимальную (по модулю) разность
между
()
*xy и значениями y из множества
()
(
){}
xxyxxy
Δ
+
Δ
−
*,* . Получим
(
)
7429,02571,12* =−≈yA .
Находим
(
)
*
0
yA по формуле (2.2)
()
4024,05,0
2
2ln2
1
*
5,1
2
0
≈⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=
=x
x
x
x
yA
.
Учитывая, что
(
)()
**
0
yAyA > и существенное отличие
(
)
*yA от
()
*
0
yA
, в качестве погрешности определения функции следует взять
(
)
*yA v.
2.2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
При определении корней уравнения
()
0=xf (2.3)
полезно использовать следующую теорему.
Теорема 1. Если функция
[]
baCxfy ,)(
2
∈= принимает значения разных
знаков на концах отрезка
[
]
ba, , первая производная
(
)
xf
′
сохраняет знак на
интервале
()
ba, , то внутри отрезка
[]
ba, существует единственный корень ξ
уравнения
()
0=xf ,
(
)
ba,
∈
ξ
(рис. 2.1).p
Р и с. 2.1
Таким образом, при нахождении корней вначале необходимо разбить
область определения функции на отрезки, внутри которых находится один ко-
рень уравнения (2.3).
Пусть требуется найти решение на отрезке
[
]
n
xxx ,
0
∈
. Разобьем его на
систему равноотстоящих узлов
hxx
ii
+
=
+1
, где h – шаг интегрирования.
Уточнение расчетов по методу Рунге-Кутта достигается за счет специального
подбора координат четырех точек, в которых вычисляется первая производная
),( yxf . Формулы интегрирования по этому методу на i-ом шаге имеют вид
() () ()
43211
22
6
1
kkkkxyxy
ii
++++=
+
, (4.12)
где
(
)
ii
yxfhk ,
1
⋅
=
,
(
)
2/,2/
12
kyhxfhk
ii
+
+
⋅
=
,
(
)
2/,2/
23
kyhxfhk
ii
+
+
⋅
=
, (4.13)
(
)
34
, kyhxfhk
ii
+
+
⋅
=
,
ii
xxh
−
=
+1
.
Метод Рунге-Кутта легко алгоритмизуется. Точность метода Рунге-
Кутта пропорциональна
5
h и имеет вид [1, 2]
5
)()( hxkxR = . (4.14)
Одним из наиболее эффективных методов оценки погрешности явля-
ется правило Рунге. Суть его заключается в следующем.
Пусть имеется приближенная формула
),(
hxy для вычисления вели-
чины
)(xy по значениям на равномерной сетке ihxx
+
=
0
),0( ni = и оста-
точный член этой формулы
),(
)( hxyxyR
−
=
(4.15)
имеет вид (4.14), т.е.
5
)(),(
)( hxkhxyxy =− .
Выполним теперь расчет по той же приближенной формуле для той
же точки
х, но используя равномерную сетку с другим шагом rh ( )1<r . То-
гда полученное приближенное решение
),(
rhxy связано с точным решением
)(xy соотношением
5
)()(),(
)( rhxkrhxyxy =− .
Имея два расчета
),(
hxy и ),(
rhxy на разных сетках, нетрудно оце-
нить величину погрешности:
55
)1()(),(
~
),(
~
hrxkhxyrhxy −=− .
Из полученного соотношения с учетом формул (4.14), (4.15) получаем
формулу Рунге
1
),(
),(
5
−
−
=
r
hxyrhxy
R
. (4.16)
y
0
x
a
b
f(x)
ξ
(
)()
baxxf ,0 ∈∀>
′
8 29

Страницы