Вычислительная математика. Кайдалова Л.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СамГУПС | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, расчет по второй сетке позволяет оценить погрешность расче-
та по первой сетке.
Отметим, что при использовании правила Рунге практически доста-
точно применять формулу оценки погрешности в виде
)2/,(
~
),(
~
hxyhxyR −= ,
где
),(
~
hxy и )2/,(
~
hxy – приближенные значения решения уравнения в од-
ной и той же точке, полученные с шагом h и h/2, так как величина
32/1
5
=r
вносит незначительную погрешность в (4.16). При этом требуемая точность
считается достигнутой, если величина R не превышает заданной погрешно-
сти ε во всех совпадающих узлах.
4.3. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
2Задание 1. Вычислить по формулам прямоугольников, трапеций и
Симпсона определенный интеграл
()
∫
+
1
0
2 dxx с шагом h = 0,1.
Решение. Имеем 10
1,0
1
==
−
=
h
ab
n
; 2)(
+
=
xxf ; 0
0
=
x ; 1,0
1
=
x ;
;2,0
2
=x ;3,0
3
=x 4,0
4
=
x ; =
5
x 0,5; 6,0
6
=x ; 7,0
7
=
x ; 8,0
8
=
x ; 9,0
9
=
x ;
1
10
=x ; 2)(
0
=xf ; 1,221,0)(
1
=
+=xf ; 2,222,0)(
2
=
+
=
xf ;
3,223,0)(
3
=+=xf ; 4,224,0)(
4
=
+=xf ; 5,225,0)(
5
=
+
=
xf ;
6,226,0)(
6
=+=xf ; 7,227,0)(
7
=
+=xf ; 8,228,0)(
8
=
+
=
xf ;
9,229,0)(
9
=+=xf ; 321)(
10
=+=xf .
а)
Формула прямоугольников. По формуле (4.3) получаем
() ()
9,28,27,26,25,24,23,22,21,22
10
1
2
1
0
+++++++++≈+
∫
dxx = 2,45,
а по формуле (4.4) –
() ()
39,28,27,26,25,24,23,22,21,2
10
1
2
1
0
+++++++++≈+
∫
dxx = 2,55.
б) Формула трапеций. По формуле трапеций получаем
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++++++++
+
≈+
∫
9,28,27,26,25,24,23,22,21,2
2
32
10
1
2
1
0
dxx =
= 2,5.
в) Формула Симпсона. По формуле парабол получаем
() ()
[
+++++++
⋅
−
≈+
∫
9,27,25,23,21,2432
56
01
2
1
0
dxx
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
2.1. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
Пусть
x
– точное значение аргумента функции )(xyy
=
, x
Δ
– погрешность
задания
x
, *x – известное приближение к
x
, а
(
)
** xyy
=
– соответствующее
значение функции. Тогда величина
(
)
|*|sup*
|*|
yyyA
xxx
−
=
Δ≤−
(2.1)
называется предельной абсолютной погрешностью функции.
Величина
()
x
x
y
yA
xx
Δ⋅
∂
∂
=
= *
0
* (2.2)
называется линейной оценкой погрешности функции. В общем случае
()
*yA и
()
*
0
yA могут существенно различаться. При этом для определения погрешности
функции необходимо использовать величину
(
)
*yA , дающую правильное
значение погрешности функции.
♦Пример 2.1. Вычислить предельную погрешность и линейную оценку
погрешности функции
()
x
x
xy 2
1
2
⋅= в точке 5,1*
=
=
xx . Принять 5,0=Δx .
Решение. Для вычисления
(
)
*yA находим величины
() ()
()
2571,12
5,1
1
5,1*
5,1
2
≈⋅== yxy ;
(
)
(
)
21*
=
=
Δ
−
yxxy ;
(
)
(
)
12*
=
=
Δ
+
yxxy .
Выясним, существует ли локальный экстремум функции на интервале
()
(
)
2,1*,*
=
Δ
+
Δ− xxxx . Для этого вычислим производную функции и
приравняем ее к нулю:
()
⇒=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=⋅⋅+⋅−=
′
0
2
2ln2
1
22ln
1
2
2
223
xxxx
xy
xxx
()
2,1885,2
2ln
2
0
2
2ln
0
∉≈=⇒=− x
x
.
Таким образом, на интервале
(
)
2,1 экстремум функции отсутствует и
1=y и 2
=
y являются соответственно минимальным и максимальным значе-
ниями функции на отрезке
[
]
2,1 .
30
7

Страницы