Вычислительная математика. Кайдалова Л.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СамГУПС | Самара

Составители: 

Рубрика: 

()
() ()
afxf
ax
xfxx
−
−
⋅−=
1
1
112
,
где
2
x является значением корня во втором приближении. Продолжая этот
процесс, для
n -ого приближения получим
()
() ()
afxf
ax
xfxx
n
n
nnn
−
−
⋅−=
−
−
−−
1
1
11
. (2.6)
В качестве начального приближения
0
x в (2.6) принимается значение b .
При этом корень находится внутри отрезка
[]
n
xa, .
Неподвижным концом при последовательном уточнении
приближенного значения корня могут быть как точка
а, так и точка b
первоначального отрезка. Для выяснения этого факта предположим, что
)(xf
′
′
при
()
bax ,∈∀ сохраняет знак. Доказано, что во всех случаях приближенное
значение корня лежит между точным его значением и тем концом отрезка
[
]
ba, ,
в котором знаки
)(xf и )(xf
′
′
противоположны [4, 6]. Поэтому, если известно
(
n – 1)-ое приближение корня, то его n-ое приближение можно вычислить по
формуле
()
() ()
afxf
ax
xfxx
n
n
nnn
−
−
⋅−=
−
−
−−
1
1
11
(2.7)
для случая
)(af ⋅ )(xf
′
′
> 0 (неподвижным остается левый конец отрезка) или по
формуле
()
() ()
bfxf
bx
xfxx
n
n
nnn
−
−
⋅−=
−
−
−−
1
1
11
(2.8)
для случая
)(bf ⋅ )(xf
′
′
> 0 (неподвижным остается правый конец отрезка).
На практике итерационный процесс вычисления приближенных
значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных
приближений
n
x и
1−n
x не будет выполняться условие
ε<−
−1nn
xx
,
где ε – заданная точность.
♦Пример 2.2. Найти корни уравнения
01
3
=−+ xx (2.9)
методом хорд с точностью ε = 0,01.
Решение. Для нашего примера примем
(
)
3
xx =ϕ
;
()
xx −=
ψ
1 .
Графики этих функций изображены на рис. 2.3.
Как видно,
[]
1,0∈
ξ
. Рассмотрим отрезок
[]
1,0 . Имеем
()
010 <−=f ;
()
011 >
=
f ;
(
)
[
]
1,0013
∈
∀>+=
′
xxxf .
4.2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.2.1. Метод Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
),( yxfy
=
′
(4.7)
с начальным условием
00
)( yxy
=
. (4.8)
Область непрерывного изменения аргумента
0
xx ≥ (если в качестве
начального значения аргумента взята левая граничная точка) заменяем дис-
кретным множеством точек
niihxx
ii
,0,
0
=+=
, (4.9)
где
i
h – некоторое малое число, называемое шагом интегрирования. Множест-
во
}{
i
x называют сеткой, точки ),0( nix
i
= – узлами сетки. Если все hh
i
= ,
сетка называется
равномерной, в противном случае – неравномерной.
Для решения задачи Коши (4.7), (4.8) нужно найти приближенные
значения
...,,
21
yy точного решения )(xY уравнения (4.7) соответственно при
значениях аргумента
...,,
21
xx Введем обозначение )(
ii
xyy
=
. Будем считать,
что сетка (4.9) является равномерной, т.е.
consthh
i
=
=
.
Заменяя производную в (4.7) при
[
]
1
,
+
∈
ii
xxx приближенным соотно-
шением, получим
(
)
(
)
h
yy
xx
xyxy
x
y
y
ii
ii
ii
i
i
−
=
−
−
=
Δ
Δ
≈
′
+
+
+ 1
1
1
. (4.10)
Тогда с учетом правой части уравнения (4.7) из (4.10) имеем
(
)
iiii
yxhfyy ,
1
+
=
+
(i = n,0 ). (4.11)
Таким образом, полагая согласно (4.8)
00
)( yxy
=
, с помощью (4.11)
можно последовательно найти все значения
i
y (i =
n,0
).
Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Эйлера. При
i = 0 из (4.11) и (4.7) имеем
(
)
(
)
(
)
000100001
,, yxyxxyyxhfyy
′
−
+
=
+
=
,
т.е. на отрезке
[
]
10
, xx интегральная кривая заменяется отрезком прямой, кото-
рая является отрезком касательной, проведенной в точке
(
)
00
, yx и
10
27

Страницы