Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1.1.1 Ос нов ные по ня тия
1) Под мно же ст вом S бу дем по ни мать лю бое со б ра ние оп ре де -
лен ных и раз лич ных ме ж ду со бой объ ек тов, мыс ли мое как еди ное це -
лое. Эти объ ек ты на зы ва ют ся эле мен та ми мно же ст ва S.
При мер: мно же ст во це лых чи сел, мно же ст во сту ден тов, при сут ст -
вую щих на лек ции (да же ес ли их нет — это пус тое мно же ст во), мно же -
ст во то чек на плос ко сти и так да лее.
2) Сим вол Î обо зна ча ет от но ше ние при над леж но сти эле мен та. За -
пись
x SÎ
обо зна ча ет, что «эле мент x при над ле жит мно же ст ву S». Ес ли
x не при над ле жит мно же ст ву S, то пи шут
x SÏ
, или
x SÎ
.
3) Ес ли мно же ст во со дер жит ко неч ное чис ло эле мен тов, го во -
рят, что оно ко неч но; в про тив ном слу чае мно же ст во на зы ва ет ся бес ко -
неч ным.
4) Мно же ст ва A и B счи та ют ся рав ны ми, ес ли они со сто ят из од -
них и тех же эле мен тов. За пи сы ва ет ся
A B=
. В про тив ном слу чае
A B¹
.
Дан ное пра ви ло на зы ва ет ся прин ци пом объ ем но сти.
При мер. Мно же ст во A всех по ло жи тель ных чет ных чи сел рав но
мно же ст ву B по ло жи тель ных це лых чи сел пред став лен ных в ви де сум мы
двух по ло жи тель ных не чет ных чи сел. Дей ст ви тель но: Ес ли
x AÎ
, то
x m= 2
; то гда
x m= - +( )2 1 1
, то есть
x BÎ
. Ес ли
x BÎ
, то x = (2p – 1) +
+ (2q – 1) = 2( p + q – 1), то есть
x AÎ
. Та ким об ра зом
x AÎ
и
x BÎ
, или
x BÎ
и
x AÎ
, зна чит
A B=
.
5) Ес ли эле мен та ми мно же ст ва яв ля ют ся объ ек ты a
1
,..., a
n
, то оно
обо зна ча ет ся {a
1
,..., a
n
}.
При меры:
а) мно же ст во чет ных чи сел: P = {2,4,6,8};
б) мно же ст во трех знач ных чи сел в дво ич ной сис те ме:
B
3
= {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}.
15
      1.1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

      1.1.1 Основные понятия

      1) Под множеством S будем понимать любое собрание опреде-
ленных и различных между собой объектов, мыслимое как единое це-
лое. Эти объекты называются элементами множества S.

      Пример: множество целых чисел, множество студентов, присутст-
вующих на лекции (даже если их нет — это пустое множество), множе-
ство точек на плоскости и так далее.

       2) Символ Î обозначает отношение принадлежности элемента. За-
пись x Î S обозначает, что «элемент x принадлежит множеству S». Если
x не принадлежит множеству S, то пишут x Ï S , или x Î S .

      3) Если множество содержит конечное число элементов, гово-
рят, что оно конечно; в противном случае множество называется беско-
нечным.

      4) Множества A и B считаются равными, если они состоят из од-
них и тех же элементов. Записывается A = B. В противном случае A ¹ B.
Данное правило называется принципом объемности.

       Пример. Множество A всех положительных четных чисел равно
множеству B положительных целых чисел представленных в виде суммы
двух положительных нечетных чисел. Действительно: Если x Î A, то
x = 2 m; тогда x = (2 m -1) +1, то есть x Î B. Если x Î B, то x = (2p – 1) +
+ (2q – 1) = 2( p + q – 1), то есть x Î A. Таким образом x Î A и x Î B, или
x Î B и x Î A, значит A = B.

     5) Если элементами множества являются объекты a1,..., an, то оно
обозначается {a1,..., an}.

      Примеры:
      а) множество четных чисел: P = {2,4,6,8};
      б) множество трехзначных чисел в двоичной системе:

               B3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}.
                                                                         15

Страницы