Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6) В си лу прин ци па объ ем но сти {2, 4, 6} = {4, 2, 6} = {2, 4, 4, 6}, но
{{1, 2}} ¹ {1, 2}, т.к. един ст вен ным эле мен том мно же ст ва {{1,2}} яв ля ет -
ся мно же ст во {1, 2}, а мно же ст во {1, 2} со сто ит из двух эле мен тов: чи -
сел 1 и 2.
7) Дру гим спо со бом за да ния мно же ст ва яв ля ет ся так на зы вае мая,
«фор ма от x». Обо зна ча ет ся:
A x P x= { | ( )}
.
При мер: {x | x — чет ное чис ло} — бес ко неч ное мно же ст во чет ных
чи сел.
8) Сим вол Í обо зна ча ет от но ше ние вклю че ния ме ж ду мно же ст ва -
ми: пи шут
A BÍ
— ес ли ка ж дый эле мент из A при над ле жит B; го во рят:
«B со дер жит A» или «A есть под мно же ст во B». Ес ли
A BÍ
и
A B¹
, то го -
во рят, что A есть соб ст вен ное под мно же ст во B, и пи шут
A BÌ
.
При мер: {1, 2} Ì {1, 2, 3, 4}.
Свой ст ва вклю че ния:
а)
A AÍ
;
б) ес ли
A BÍ
,
B CÍ
, то
A CÍ
— свой ст во тран зи тив но сти;
в) ес ли
A BÍ
и
B AÍ
, то
A B=
.
Не сме ши вать от но ше ния при над леж но сти и вклю че ния : 1 Î {1} и
{1} Í {{1}}, но не вер но, что 1 Î {{1}}, так как един ст вен ным эле мен том
мно же ст ва {{1}} яв ля ет ся {1}, а не 1.
9) Мно же ст во, не со дер жа щее эле мен тов, на зы ва ет ся пус тым
мно же ст вом и обо зна ча ет ся Æ. Пус тое мно же ст во есть под мно же ст во
лю бо го мно же ст ва.
10) Мно же ст вом под мно жеств A (мно же ст вом-сте пе нью) на -
зы ва ет ся мно же ст во
P A( )
, эле мен та ми ко то ро го яв ля ют ся под мно -
же ст ва A.
Пус тое мно же ст во Æ так же яв ля ет ся эле мен том
P A( )
.
При мер: Ес ли A = {1, 2, 3}, то P(A) = {Æ; {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3},
{2,3}, А}. Ес ли мно же ст во A со сто ит из n эле мен тов, то мно же ст во P(A )
со сто ит из 2
n
эле мен тов.
16
       6) В силу принципа объемности {2, 4, 6} = {4, 2, 6} = {2, 4, 4, 6}, но
{{1, 2}} ¹ {1, 2}, т.к. единственным элементом множества {{1,2}} являет-
ся множество {1, 2}, а множество {1, 2} состоит из двух элементов: чи-
сел 1 и 2.

      7) Другим способом задания множества является так называемая,
«форма от x». Обозначается: A = { x | P ( x )}.
      Пример: {x | x — четное число} — бесконечное множество четных
чисел.

      8) Символ Í обозначает отношение включения между множества-
ми: пишут A Í B — если каждый элемент из A принадлежит B; говорят:
«B содержит A» или «A есть подмножество B». Если A Í B и A ¹ B, то го-
ворят, что A есть собственное подмножество B, и пишут A Ì B.

      Пример: {1, 2} Ì {1, 2, 3, 4}.

      Свойства включения:
      а) A Í A;
      б) если A Í B, B Í C, то A Í C — свойство транзитивности;
      в) если A Í B и B Í A, то A = B.
      Не смешивать отношения принадлежности и включения : 1 Î {1} и
{1} Í {{1}}, но неверно, что 1 Î {{1}}, так как единственным элементом
множества {{1}} является {1}, а не 1.

     9) Множество, не содержащее элементов, называется пустым
множеством и обозначается Æ. Пустое множество есть подмножество
любого множества.

       10) Множеством подмножеств A (мно же ст вом-сте пе нью) на -
зыва ет ся множе ство P ( A), элемента ми которого являют ся подмно-
же ст ва A.
       Пустое множество Æ также является элементом P ( A).

       Пример: Если A = {1, 2, 3}, то P(A) = {Æ; {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3},
{2,3}, А}. Если множество A состоит из n элементов, то множество P(A)
состоит из 2n элементов.
16

Страницы