Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер 1.
До ка за тель ст во то ж де ст ва 3): А È (В Ç С) = = (А È В) Ç (А È С).
Сна ча ла по ка жем, что А È (В Ç С) Í (А È В) Ç (А È С). Дей ст ви тель но,
ес ли x Î А È (В Ç С), то x Î А или x Î В Ç С. Ес ли x Î А, то x Î А È В и
x Î А È С.
Сле до ва тель но x Î (А È В) Ç (А È С). Ес ли x Î В Ç С, то x Î В и
x Î С. От сю да x Î В È А и x Î С È А, а зна чит x Î (А È В) Ç (А È С).
Те перь по ка жем, что (А È В) Ç (А È С) Í А È (В Ç С). Ес ли
x Î (А È В) Ç (А È С), то x Î А È В и x Î А È С. Сле до ва тель но x Î А или
x Î В и x Î С, то есть x Î В Ç C. От сю да x Î А È (В Ç С).
Та ким об ра зом по прин ци пу объ ем но сти, ес ли N НМ, а М Í N,
то N = М. То ж де ст ва мож но до ка зы вать пу тем пре об ра зо ва ний:
При мер 2. До ка за тель ст во то ж де ст ва 6): А È А = А;
А È А = (А È А) Ç U = (А È А) Ç (А È
A
) = А È (А Ç
A
) = А È Æ = А.
До пол ни тель ные то ж де ст ва:
11) ес ли A È B = U и A Ç B = Æ, то B =
A
;
12) B \ A = B Ç
A
;
13) А Å В = (А Ç
B
) È (
A
Ç В);
14)
A
= U \ A;
15)
A
= A (ин во лю ция);
16) А Å В = В Å А;
17) (А Å В) Å С = А Å (В Å С);
18) A Å Æ = Æ Å A = A;
19) A Ì B, ес ли и толь ко ес ли A Ç B = A или A È B = B или A Ç
B
= Æ;
20) A = B, ес ли и толь ко ес ли (А Ç
B
) È (
A
Ç В) = Æ.
Ал геб ра мно жеств — это ана лог обыч ной ал геб ры дей ст ви тель ных
чи сел. Од ним из раз де лов ал геб ры мно жеств яв ля ют ся то ж де ст вен ные
пре об ра зо ва ния, с по мо щью ко то рых мож но уп ро щать раз лич ные вы ра -
же ния.
При мер: а) (А Ç В Ç С) È (
A
Ç С) È (
B
Ç С) = (А Ç В Ç С) È
È [(
A
È
B
) Ç С] = [(А Ç В) È (
A
È
B
)] È С = [(А Ç В) È (
A BÇ
)] Ç С =
= U Ç С = С;
19
      Пример 1.
      Доказательство тождества 3): А È (В Ç С) = = (А È В) Ç (А È С).
Сначала покажем, что А È (В Ç С) Í (А È В) Ç (А È С). Действительно,
если x Î А È (В Ç С), то x Î А или x Î В Ç С. Если x Î А, то x Î А È В и
x Î А È С.
      Следовательно x Î (А È В) Ç (А È С). Если x Î В Ç С, то x Î В и
x Î С. Отсюда x Î В È А и x Î С È А, а значит x Î (А È В) Ç (А È С).
      Теперь покажем, что (А È В) Ç (А È С) Í А È (В Ç С). Если
x Î (А È В) Ç (А È С), то x Î А È В и x Î А È С. Следовательно x Î А или
x Î В и x Î С, то есть x Î В Ç C. Отсюда x Î А È (В Ç С).
      Таким образом по принципу объемности, если N НМ, а М Í N,
то N = М. Тождества можно доказывать путем преобразований:

      Пример 2. Доказательство тождества 6): А È А = А;
      А È А = (А È А) Ç U = (А È А) Ç (А È A ) = А È (А Ç A) = А È Æ = А.

      Дополнительные тождества:
      11) если A È B = U и A Ç B = Æ, то B = A;
      12) B \ A = B Ç A;
      13) А Å В = (А Ç B ) È (A Ç В);
      14) A = U \ A;
      15) A = A (инволюция);
      16) А Å В = В Å А;
      17) (А Å В) Å С = А Å (В Å С);
      18) A Å Æ = Æ Å A = A;
      19) A Ì B, если и только если A Ç B = A или A È B = B или A Ç B = Æ;
      20) A = B, если и только если (А Ç B ) È (A Ç В) = Æ.

      Алгебра множеств — это аналог обычной алгебры действительных
чисел. Одним из разделов алгебры множеств являются тождественные
преобразования, с помощью которых можно упрощать различные выра-
жения.

      Пример: а) (А Ç В Ç С) È (A Ç С) È (B Ç С) = (А Ç В Ç С) È
È [(A ÈB ) Ç С] = [(А Ç В) È (A È B )] È С = [(А Ç В) È (A Ç B)] Ç С =
= U Ç С = С;
                                                                            19

Страницы