Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) (М \ N) Ç (N \ М) = (M Ç
N
) Ç (N Ç
M
) = M Ç (
N
Ç N) Ç
M
=
M Ç Æ
M
= Æ
1.1.4 Урав не ния с мно же ст ва ми
1) Урав не ние мо жет со дер жать из вест ные мно же ст ва A1, A2,..., An
и под ле жа щие оп ре де ле нию мно же ст ва X1, X2, ..., Xm.
Пусть в урав не ние вхо дит од но не из вест ное мно же ст во X.
Тре бу ет ся от ве тить на во прос, при ка ких ус ло ви ях урав не ние име -
ет ре ше ние и ка ко во это ре ше ние. Ре ше ние урав не ния с од ним не из -
вест ным мно же ст вом X ос но вы ва ет ся на по сле до ва тель но сти то ж де ст -
вен ных пре об ра зо ва ний:
а) В со от вет ст вии с то ж де ст ва ми 13) и 20) урав не ние пре об ра зу ет -
ся в дизъ юнк тив ную сум му его ле вой и пра вой час тей, ко то рая при рав -
ни ва ет ся пус то му мно же ст ву.
б) По лу чен ное урав не ние пре об ра зу ет ся к ви ду: (М Ç Х) È (N Ç
X
) =
= Æ, где M и N — из вест ные мно же ст ва, не со дер жа щие X. (Лю бое урав не -
ние при во дит ся к та ко му ви ду).
в) Так как объ е ди не ние мно жеств пус то толь ко при ус ло вии, что
ка ж дое из них так же пус тое мно же ст во, пре об ра зо ван ное урав не ние
мож но за пи сать в ви де сис те мы двух урав не ний: M Ç X = Æ и N È
X
= Æ.
г) По лу чен ная па ра урав не ний (а сле до ва тель но, и ис ход ное урав -
не ние) име ет смысл то гда и толь ко то гда, ко гда N Ì X и X Ì
M
(то ж де ст -
во 19).
Это зна чит, что ус ло ви ем су ще ст во ва ния ре ше ния яв ля ет ся N Ì M
(свой ст во тран зи тив но сти от но ше ния вклю че ния). А ре ше ни ем урав не -
ния яв ля ет ся лю бое мно же ст во X та кое, что N Ì X Ì
M
.
При мер: X È C = D.
а) [(X È C) Ç
D
] È [(
X CÈ
) Ç D] = Æ.
б) [(X È C) Ç
D
] È [(
X CÈ
) Ç D] = [(X Ç
D
) È (C Ç
D
)] È [
X
Ç
C
Ç D] =
= (X Ç
D
) È [(C Ç
D
) Ç (X È
X
)] È [D Ç
C
Ç
X
] = (
D
Ç X) È (C Ç
D
Ç X) È
È (C Ç
D
Ç
X
) È (D Ç
C
Ç
X
) = {[
D
È (C Ç
D
)] Ç X} È {[(C Ç
D
) È (D Ç
C
)] Ç
Ç
X
} = (
D
Ç X) È [(C Å D) Ç
X
] =Æ.
20
  б) (М \ N) Ç (N \ М) = (M ÇN ) Ç (N Ç M ) = M Ç (N Ç N) Ç M =
MÇÆM =Æ


      1.1.4 Уравнения с множествами


      1) Уравнение может содержать известные множества A1, A2,..., An
и подлежащие определению множества X1, X2, ..., Xm.
      Пусть в уравнение входит одно неизвестное множество X.
      Требуется ответить на вопрос, при каких условиях уравнение име-
ет решение и каково это решение. Решение уравнения с одним неиз-
вестным множеством X основывается на последовательности тождест-
венных преобразований:
      а) В соответствии с тождествами 13) и 20) уравнение преобразует-
ся в дизъюнктивную сумму его левой и правой частей, которая прирав-
нивается пустому множеству.
      б) Полученное уравнение преобразуется к виду: (М Ç Х) È (N Ç X ) =
= Æ, где M и N — известные множества, не содержащие X. (Любое уравне-
ние приводится к такому виду).
      в) Так как объединение множеств пусто только при условии, что
каждое из них также пустое множество, преобразованное уравнение
можно записать в виде системы двух уравнений: M Ç X = Æ и N È X = Æ.
      г) Полученная пара уравнений (а следовательно, и исходное урав-
нение) имеет смысл тогда и только тогда, когда N Ì X и X Ì M (тождест-
во 19).
      Это значит, что условием существования решения является N Ì M
(свойство транзитивности отношения включения). А решением уравне-
ния является любое множество X такое, что N Ì X Ì M .


      Пример: X È C = D.
      а) [(X È C) Ç D ] È [(X È C) Ç D] = Æ.
      б) [(X È C) Ç D ] È [(X È C) Ç D] = [(X Ç D) È (C Ç D )] È [X Ç C Ç D] =
= (X Ç D ) È [(C Ç D ) Ç (X È X )] È [D Ç C Ç X ] = (D Ç X) È (C Ç D Ç X) È
È (C Ç D Ç X ) È (D Ç C Ç X ) = {[D È (C Ç D )] Ç X} È {[(C Ç D ) È (D Ç C )] Ç
Ç X } = (D Ç X) È [(C Å D) Ç X ] =Æ.
20

Страницы