Математика. Раздел 1. Дискретная математика. Тетрадь 1. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Для кон крет но го ли ца А экс перт, ис хо дя из при ве ден ной шка лы,
за да ет
[ ]
m
A
x( ) ,Î 01
, фор ми руя век тор ную функ цию при над леж но сти
{m
A
(x
1
), m
A
(x
2
),... m
A
(x
9
)}.
При пря мых ме то дах ис поль зу ют ся так же груп по вые пря мые ме -
то ды, ко гда, на при мер, груп пе экс пер тов предъ яв ля ют кон крет ное ли цо
и ка ж дый дол жен дать один из двух от ве тов: «этот че ло век лы сый» или
«этот че ло век не лы сый», то гда ко ли че ст во ут вер ди тель ных от ве тов, де -
лен ное на об щее чис ло экс пер тов, да ет зна че ние m
«лы сый»
(дан но го ли ца).
Кос вен ные ме то ды оп ре де ле ния зна че ний функ ции при над леж -
но сти ис поль зу ют ся в слу ча ях, ко гда нет эле мен тар ных из ме ри мых
свойств, че рез ко то рые оп ре де ля ет ся ин те ре сую щее нас не чет кое
мно же ст во. Как пра ви ло, это ме то ды по пар ных срав не ний. Ес ли бы
зна че ния функ ций при над леж но сти бы ли нам из вест ны, на при мер,
m
A
(x
i
) = w
i
, i=1,2,...,n, то по пар ные срав не ния мож но пред ста вить мат -
ри цей от но ше ний A={a
ij
}, где a
ij
=w
i
/ w
j
(опе ра ция де ле ния).
На прак ти ке экс перт сам фор ми ру ет мат ри цу A, при этом пред по -
ла га ет ся, что диа го наль ные эле мен ты рав ны 1, а для эле мен тов сим мет -
рич ных от но си тель но диа го на ли a
ij
= 1/a
ij
, т.е. ес ли один эле мент оце ни -
ва ет ся в a раз силь нее чем дру гой, то этот по след ний дол жен быть в 1/a
раз силь нее, чем пер вый. В об щем слу чае за да ча сво дит ся к по ис ку век -
то ра w, удов ле тво ряю ще го урав не нию ви да А
w
=l
max
w, где l
max
— наи боль -
шее соб ст вен ное зна че ние мат ри цы A. По сколь ку мат ри ца А по ло жи -
тель на по по строе нию, ре ше ние дан ной за да чи су ще ст ву ет и яв ля ет ся
по ло жи тель ным.
4) Опе ра ции над не чет ки ми мно же ст ва ми
а) Вклю че ние. Пусть A и B — не чет кие мно же ст ва на уни вер саль ном
мно же ст ве U. Го во рят, что A со дер жит ся в B, ес ли
" Îx U
m m
A
B
x x( ) ( )£
.
Обо зна че ние: A Ì B. Ино гда ис поль зу ют тер мин «до ми ни ро ва ние»,
то есть в слу чае ко гда A Ì B, го во рят, что B до ми ни ру ет A.
б) Ра вен ст во. A и B рав ны, ес ли
" Îx U
m m
A
B
x x( ) ( )=
.
Обо зна че ние: A=B.
в) До пол не ние. Пусть M=[0,1], A и B — не чет кие мно же ст ва, за дан -
ные на U. A и B до пол ня ют друг дру га, ес ли
" Îx U
m m
A
B
x x( ) ( )= -1
.
Обо зна че ние:
B A=
или
A B=
.
Оче вид но, что
( )A A=
. (До пол не ние оп ре де ле но для M=[0,1], но
оче вид но, что его мож но оп ре де лить для лю бо го упо ря до чен но го M ).
35
       Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы,
задает m A ( x ) Î[01, ], формируя векторную функцию принадлежности
{mA(x1), mA(x2),... mA(x9)}.
       При прямых методах используются также групповые прямые ме-
тоды, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо
и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или
«этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, де-
ленное на общее число экспертов, дает значение m«лысый» (данного лица).
       Косвенные методы определения значений функции принадлеж-
ности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых
свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое
множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы
значения функций принадлежности были нам известны, например,
mA(xi) = wi, i=1,2,...,n, то попарные сравнения можно представить мат-
рицей отношений A={aij}, где aij=wi / wj (операция деления).
       На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предпо-
лагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симмет-
ричных относительно диагонали aij = 1/aij, т.е. если один элемент оцени-
вается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a
раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску век-
тора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw=lmaxw, где lmax — наиболь-
шее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положи-
тельна по построению, решение данной задачи существует и является
положительным.

      4) Операции над нечеткими множествами
      а) Включение. Пусть A и B — нечеткие множества на универсальном
множестве U. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎU m A ( x ) £ m B ( x ).
      Обозначение: A Ì B. Иногда используют термин «доминирование»,
то есть в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.
      б) Равенство. A и B равны, если "x ÎU m A ( x ) = m B ( x ).
      Обозначение: A=B.
      в) Дополнение. Пусть M=[0,1], A и B — нечеткие множества, задан-
ные на U. A и B дополняют друг друга, если "x ÎU m A ( x ) = 1 - m B ( x ).
      Обозначение: B = A или A = B .
      Очевидно, что ( A ) = A. (Дополнение определено для M=[0,1], но
очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).
                                                                          35

Страницы