Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10
)()()(
x
x
f
x
и
A
x
x
)(lim)(lim
, то
A
x
f
)(lim .
3) Функция f(x) называется ограниченной вблизи а, если существует
число M>0, такое, что |f(x)| < M вблизи а.
Теорема 6: Если функция f(x) при a
x
имеет конечный предел, то
она ограничена вблизи а.
4) Функция f(x) называется бесконечно малой
при a
x
, если
0)(lim
x
f
.
Пример: f(x) = sinx; lim(sinx) = 0.
Теорема 7: Для того, чтобы функция f(x) имела предел A при a
x
,
необходимо и достаточно, чтобы вблизи а выполнялось равенство:
)()(
x
A
x
f
, где 0)(
x
при a
x
.
Теорема 8: Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций
при a
x
есть функция бесконечно малая при a
x
.
Теорема 9: Произведение фиксированного числа бесконечно малых
функций при a
x
есть функция бесконечно малая при a
x
.
Теорема 10: Произведение функции бесконечно малой при a
x
на
функцию, ограниченную вблизи а, есть функция бесконечно малая при
a
x
.
5) Функция f(x) называется бесконечно большой при a
x
, если
)(lim
x
f
.
Теорема 11: Если функция f(x) - бесконечно малая при a
x
и
0)(
x
f
вблизи а,то функция 1/f(x) - бесконечно большая при a
x
, и
обратно, если функция f(x) - бесконечно большая при a
x
, то функция
1/f(x) - бесконечно малая при a
x
.
Примеры:
f(x) = x - бесконечно малая функция при 0
x
,
f(x) = 1/x - бесконечно большая функция при 0
x
.
f(x) = x - бесконечно большая функция при
x
,
f(x) = 1/x - бесконечно малая функция при 0
x
. 
        ( x)  f ( x)   ( x) и lim ( x)  lim ( x)  A , то lim f ( x)  A .
       3) Функция f(x) называется ограниченной вблизи а, если существует
число M>0, такое, что |f(x)| < M вблизи а.
       Теорема 6: Если функция f(x) при x  a имеет конечный предел, то
она ограничена вблизи а.
       4) Функция        f(x)   называется бесконечно малой при x  a ,             если
lim f ( x)  0 .
       Пример: f(x) = sinx; lim(sinx) = 0.
       Теорема 7: Для того, чтобы функция f(x) имела предел A при x  a ,
необходимо и достаточно, чтобы вблизи а выполнялось равенство:
f ( x)  A   ( x) , где  ( x)  0 при x  a .
       Теорема 8: Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций
при x  a есть функция бесконечно малая при x  a .
       Теорема 9: Произведение фиксированного числа бесконечно малых
функций при x  a есть функция бесконечно малая при x  a .
       Теорема 10: Произведение функции бесконечно малой при x  a на
функцию, ограниченную вблизи а, есть функция бесконечно малая при
xa.
       5) Функция f(x) называется бесконечно большой при x  a , если
lim f ( x)   .
       Теорема 11: Если функция f(x) - бесконечно малая при x  a и
f ( x)  0   вблизи а,то функция 1/f(x) - бесконечно большая при x  a , и
обратно, если функция f(x) - бесконечно большая при x  a , то функция
1/f(x) - бесконечно малая при x  a .
       Примеры:
        f(x) = x - бесконечно малая функция при x  0 ,
       f(x) = 1/x - бесконечно большая функция при x  0 .
       f(x) = x - бесконечно большая функция при x   ,
       f(x) = 1/x - бесконечно малая функция при x  0 .


                                              10

Страницы