Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

11
6) Сложная функция:
)(),(),( xfyufyxu
.
Теорема 12: Если
A
u
f
b
x
)(lim,)(lim
и, кроме, того, A = f(b), то
сложная функция

)(xfy
имеет предел при a
x
равный A;
7) Число
A называется пределом справа функции f(x) при a
x
, если
для любого числа 0
, найдется число 0
, такое, что неравенство
)(xfA , выполняется для всех x, удовлетворяющих условию:
a
x
0. Обозначается: f(a + 0).
Число
A называется пределом слева функции f(x) при a
x
, если
неравенство
aaf )( выполняется для всех x, для которых
x
a0. Обозначается: )0(
a
f
.
8) Некоторые замечательные пределы.
а) Пусть
n
nn
axaxaxP
...)(
1
10
;
m
mm
bxbxbxQ
...)(
1
10
,
тогда:
.
/.../
/.../
)/.../(
)/.../(
...
...
)(
)(
10
10
10
10
1
10
1
10
m
m
n
n
mn
mm
m
n
n
n
m
mm
n
nn
xbxbb
xaxaa
x
xbxbbx
xaxaax
bxbxb
axaxa
xQ
xP
Но
0
0
10
10
/.../
/.../
lim
b
a
xbxbb
xaxaa
m
m
n
n
x
, следовательно
. если,
если,/
если,0
)(
)(
lim
00
mn
mnba
mn
xQ
xP
x
Пример:
0
353
3
lim
;
4
3
94
573
lim
4
3
2
2
x
x
x
x
xx
xx
.
б)
x
x
x
sin
lim
0
; функция
x
xsin
- четная, т.к.
)(
sin)sin(
)( xf
x
x
x
x
xf
,
поэтому достаточно рассмотреть значения .2
/
0
x
      6) Сложная функция: u   ( x),                     y  f (u ),       y  f  ( x) .
      Теорема 12: Если lim ( x)  b, lim f (u )  A и, кроме, того, A = f(b), то
сложная функция y  f  (x) имеет предел при x  a равный A;
      7) Число A называется пределом справа функции f(x) при x  a , если
для любого числа   0 , найдется число   0 , такое, что неравенство
A  f (x)   ,          выполняется        для          всех   x,      удовлетворяющих           условию:
0  x  a   . Обозначается: f(a + 0).
      Число A называется пределом слева функции f(x) при x  a , если
неравенство            f (a )  a      выполняется                для        всех x,         для которых

0  a  x   . Обозначается: f (a  0) .
      8) Некоторые замечательные пределы.
      а) Пусть P ( x )  a 0 x n  a1 x n  1  ...  a n ; Q( x)  b0 x m  b1 x m 1  ...  bm ,
тогда:
         P ( x) a0 x n  a1 x n 1  ...  an   x n (a0  a1 / x  ...  an / x n )
                                                                                  
         Q( x) b0 x m  b1 x m 1  ...  bm x m (b0  b1 / x  ...  bm / xm )

              nm   a0  a1 / x  ...  an / x n
         x                                      .
                    b0  b1 / x  ...  bm / x m

                     a0  a1 / x  ...  an / x n        a0
      Но lim                                               , следовательно
              x   b0    b1 / x  ...  bm / x m       b0

                      0, если n  m
               P( x) 
         lim         a0 / b0 , если n  m
         x   Q( x) 
                      , если n  m.
      Пример:
                3x 2  7 x  5    3                  x3  3
         lim                      ;      lim                         0.
         x        4x2  9       4      x   3x
                                                     4
                                                          5x  3
                  sin x           sin x                          sin( x) sin x
      б) lim            ; функция       - четная, т.к. f ( x)                 f ( x) ,
                    x               x                              x       x
                x 0

поэтому достаточно рассмотреть значения 0  x   / 2.


                                                         11

Страницы