Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12
Возьмем дугу радиуса
R и угол в x радиан.
ОМ=ОА=R;
R
MK
x sin ;
R
AT
x tg .
Рисунок 2.1.1
Площадь
ΔОАМ < площади сектора ОАМ < площади ΔОАТ или
(1/2)ОА·МК < (1/2)ОА·МК < (1/2)ОА·АТ и
(1/2)R
2·
sinx < (1/2)R
2
x < (1/2)R
2
·tgx, т.е. sinx < x < tgx. Разделим это
неравенство на sinx:
xx
x
cos
1
sin
1
или x
x
x
cos
sin
1
;
1cos
x
, при 0
x
, поэтому
1
sin
lim
0
x
x
x
; x >0.
В силу четности функции
x
xsin
имеем:;
1
sin
lim
0
x
x
x
; x < 0.
Окончательно:
1
sin
lim
0
x
x
x
.
в
) lim (1 + 1/x)x = e; мы знаем что lim (1 + 1/n)
n
= e
Пусть x > 1; положим n = E(x), тогда )10(
n
x
при )(  n
x
имеем:
1
1
1
1
1
1
1
1
nxn
nxn
, но
ee
nnn
nn
1
1
1
1
1
1
1
1
и


,
11/11
11/11
1
1
1 e
e
n
nn
n
n
т.е. lim (1 + 1/x)x = e.
Пусть теперь x < -1; положим x = -y. Тогда:
A
T
K
M
R
x 
                          T

              M
                                      Возьмем дугу радиуса R и угол в x радиан.
     R
                                                                MK         AT
          x                           ОМ=ОА=R; sin x              ; tgx     .
              K           A
                                                                 R         R
Рисунок 2.1.1

     Площадь ΔОАМ < площади сектора ОАМ < площади ΔОАТ или

     (1/2)ОА·МК < (1/2)ОА·МК < (1/2)ОА·АТ и
     (1/2)R2·sinx < (1/2)R2x < (1/2)R2·tgx, т.е. sinx < x < tgx. Разделим это
неравенство на sinx:
            x     1           sin x
     1              или 1         cos x ;
          sin x cos x           x
                                                      sin x
      cos x  1, при x  0 , поэтому lim                    1 ; x >0.
                                                        x
                                                      x 0

                                           sin x             sin x
     В силу четности функции                     имеем:; lim       1 ; x < 0.
                                             x                 x
                                                                 x 0

                              sin x
     Окончательно: lim              1 .
                                x
                              x 0

     в) lim (1 + 1/x)x = e; мы знаем что lim (1 + 1/n)n = e
      Пусть x > 1; положим n = E(x), тогда x  n   (0    1)
     при x   (n  ) имеем:
                      n           x           n 1
          1   1  1
      1      1    1                       , но
       n  1      x  n
               n 1           n
       1               1  1
      1             1    1    e  1  e
       n               n  n

       
     и 1 
            1    1  1/ n  1n  1  e  e, т.е. lim (1 + 1/x)x = e.
                          n
               
        n  1       1  1 / n  1     1
      Пусть теперь x < -1; положим x = -y. Тогда:


                                                12

Страницы