Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8
n
n
n
n
n
knnnn
n
nn
n
nnx
1
...21
))1()...(2)(1(
...
1
21
)1(1
1)/11(
2
;
или
n
n
nnnn
k
nnkn
x
n
1
1...
2
1
1
1
!
1
...
1
1...
2
1
1
1
!
1
...
1
1
!2
1
11.
Покажем, что эта последовательность возрастающая, для этого сравним
x
n
с x
n+1
:
.
1
1...
1
1
1
)!1(
1
1
2
1
1
1
1
!
1
...
1
1
1...
1
2
...
1
1
1
!
1
...
1
1
1
!2
1
11
1
n
n
nnnnn
n
k
nnkn
x
n
Не трудно видеть, что каждое слагаемое в
x
n+1
больше
соответствующего слагаемого в
x
n
, кроме того в x
n+1
есть одно
дополнительное положительное слагаемое. Таким образом
последовательность

n
x - возрастающая. Докажем, что при любом n ее
члены не превосходят 3:
x
n
>3.
3
2/11
1
1
2/11
2/11
1
2
1
...
2
1
2
1
11
1
...
!3
1
!2
1
11
12
n
n
n
n
x
.
Итак, последовательность (1+1/
n)
n
- монотонно возрастает и
ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Этот предел
обозначается буквой
e: en
n
)/11lim( . Значит 3
e . Оставим в x
n
только
три слагаемых:
/n)-(//n)
n
112121(1
, переходя к пределу:
35,2.т.е,5.22
/
12
ee .
Более точные вычисления показывают, что
e - иррациональное число
e=2.71828...
Логарифмы чисел по основанию
e называются натуральными
логарифмами
и обозначаются lnx.
Связь между натуральным и десятичным логарифмами:
y=log
a
x; a
y
=x. Прологарифмируем это равенство по основанию e:
ylog
b
a=log
b
x или log
b
x=log
b
a· log
a
x. В частности, при x=b: log
b
a·log
a
b = 1. 
                                1 n(n  1) 1          n(n  1)(n  2)...(n  (k  1)) 1
       xn  (1  1/ n) n  1  n          2  ...                                  n;
                                n   1 2 n                     1  2  ...  n        n
или
            1  1         1  1  2   k  1           1  1  2   n  1
xn  1  1  1    ...  1  1  ...1      ...  1  1  ...1    .
            2! n         k! n  n         n         n! n  n         n 
       Покажем, что эта последовательность возрастающая, для этого сравним
xn с xn+1:
                   1      1          1      1   2   k  1
       x n 1  1  1 
                     1        ...  1       ...     ...1     ...
                  2!  n  1          k!  n  1   n  1   n  1 
        1     1        2          1       1          n 
        1       1                 1     ...1        .
        n!  n  1  n  1  (n  1)!  n  1   n  1 
       Не      трудно     видеть,    что    каждое       слагаемое    в    xn+1    больше
соответствующего          слагаемого     в xn,       кроме   того в xn+1      есть одно
дополнительное            положительное              слагаемое.      Таким        образом
последовательность        xn    - возрастающая. Докажем, что при любом n ее
члены не превосходят 3: xn>3.
                   1 1       1         1 1           1         1  1/ 2n         1
       xn  1  1    ...   1  1   2  ...  n 1  1            1            3.
                   2! 3!     n         2 2         2           1  1/ 2       1  1/ 2
       Итак,      последовательность       (1+1/n)n      -   монотонно    возрастает      и
ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Этот предел
обозначается буквой e: lim(1  1 / n) n  e . Значит e  3 . Оставим в xn только

три слагаемых: (1  1/n)n  2  1/ 2( 1-1/n) , переходя к пределу:
       e  2  1 / 2  2.5, т.е. 2,5  e  3 .
       Более точные вычисления показывают, что e - иррациональное число
e=2.71828...
       Логарифмы          чисел по основанию e называются натуральными
логарифмами и обозначаются lnx.
       Связь между натуральным и десятичным логарифмами:
       y=logax;     ay=x. Прологарифмируем это равенство по основанию e:
ylogba=logbx или logbx=logba· logax. В частности, при x=b: logba·logab = 1.

                                                 8

Страницы