Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1. Казанцев Э.Ф. - 6 стр.

      Доказательство: Существует такое                     число    M>0, что для всех n
выполняется неравенство xn  M .                    Возьмем любое число   0 ,          ему

соответствует такое число N, что при всех                              nN      n   / M .
Тогда xn n  M  / M   , т.е.          xn n   при      n  N . Это означает, что

xn n  0 .
      Теорема 6. Алгебраическая сумма двух сходящихся последователь-
ностей есть сходящаяся последовательность, ее предел равен соот-
ветствующей сумме пределов данных последовательностей:
       xn  a, y n  b; xn  y n  a  b
      Доказательство: Пусть             xn  a   n , где  n  0, y n  b   n ,       где
 n  0 . Тогда xn  yn  a  b    n   n  , но  n   n  - бесконечно малая,
следовательно:
       lim xn  yn   a  b , т.е. lim xn  yn   lim xn  lim y n .
      Коротко: предел суммы равен сумме пределов.
      Теорема 7. Произведение двух сходящихся последовательностей есть
сходящаяся последовательность, ее предел равен произведению пределов
данных последовательностей:
        xn  a, y n  b; xn y n  ab .
      Доказательство: xn  a   n ;  n  0; yn  b   n ;  n  0 . Тогда
       xn yn  a   n b   n   ab  (a n  b n   n  n ) , но
       ( n  b n   n  n )  0        –        т.е.     это       бесконечно       малая
последовательность. Значит: lim( xn yn )  ab , т.е. lim( xn y n )  lim xn lim y n .
      Коротко: предел произведения равен произведению пределов.
      Чтобы доказать теорему о пределе частного двух сходящихся
последовательностей, рассмотрим две леммы.
      Лемма 1. Если lim xn  a, a  0 , то существует число K>0 и натуральное

число N, такие, что при n  N выполняется неравенство: xn  K , т.е.

говорят, что последовательность xn  отделима от нуля.

                                                6